Hình học không giao hoán: một quan điểm cách mạng về không - thời gian

Alain Connes (SN1947), nhà toán học xuất sắc Pháp làm việc tai IHES (Institut des Hautes Etudes Scientifiques-Viện Nghiên cứu các Vấn đề Khoa học Cao cấp), giáo sư tại Collège de France và Đại học Vanderbilt, người sáng tạo ra và có công đầu trong phát triển hình học không giáo hoán.

Nếu có một nhà toán học rất nóng lòng chờ đợi ngày khởi động của máy LHC (Large Hadron Colliser – Máy va chạm Hadron lớn) trong năm sau, thì đó là Alain Connes làm việc tại IHES (Institut des Hautes Etudes Scientifiques-Viện Nghiên cứu các Vấn đề Khoa học Cao cấp), Collège de France, Paris và Đại học Vanderbilt.

Alain Connes đặc biệt trông chờ từ LHC các kết quả về sự tồn tại của hạt Higgs, một hạt quan trọng trong Mô hình chuẩn (Standard Model-SM) các hạt cơ bản. Hạt Higgs là một hạt hiện nay còn là bí hiểm nhưng lại quyết định sự đúng đắn của Mô hình chuẩn, một mô hình đã cho nhiều kết quả kiểm chứng được bằng thực nghiệm. Hạt Higgs cần thiết cho việc tạo nên khối lượng các hạt trong SM.
Ý tưởng chủ đạo của Alain Connes: tìm một hình học tinh tế trong đó các hạt như hạt Higgs (và các hạt khác) phải xuất hiện như một hệ quả đương nhiên, chứ không phải được đưa từ ngoài vào lý thuyết như trong Mô hình chuẩn. Hình học tinh tế Alain Connes đề cập ở đây là hình học không giao hoán.

Thế nào là hình học không giao hoán(NCG)?

Chúng ta đều biết 3.4 = 4.3 nói cách khác hai số 3 và 4 giao hoán với nhau. Trong NCG, các tọa độ x và y không giao hoán với nhau, nghĩa là x.y ≠ y.x, đây là điều mới lạ, không quen thuộc và khó hiểu đối với chúng ta. Chúng ta chỉ gặp những tình huống như vậy trong không gian pha của cơ học lượng tử, ví dụ các toán tử tọa độ x và xung lượng p _xkhông giao hoán với nhau mà thỏa mãn giao hoán tử {x, p _x] = x.p _x-p _x.x =i £.

Trong NCG người ta thay các tọa độ bằng một đại số A tác động lên không gian Hilbert H, và đưa thêm toán tử Dirac D để định nghĩa vi phân. Vậy một hình học không giao hoán được xác đinh bởi bộ tam (A, H. D). Như thế các tọa độ bây giờ trở thành những toán tử. Tương tự như trong hình học cổ điển, để sử dụng NCG chúng ta phải biết cách tính vi phân, tích phân, độ dài... (xem Chú thích  cuối bài). Khi đã có những công cụ này thì chúng ta có thể giải những bài toán cụ thể trong NCG.

NCG là một sản phẩm toán học thuần túy, tuy bắt nguồn từ việc nghiên cứu không thời gian trong vật lý, và một điều kỳ diệu là Alain Connes đã ứng dụng NCG vào vật lý một cách sâu sắc đầy hiệu quả. Như thế Alain Connes đã mở ra một phương hướng nghiên cứu mới lạ đầy triển vọng khác hoàn toàn với các phương hướng mà các nhà vật lý đang đeo đuổi. Với hình học không giao hoán Alain Connes đã đưa ra một quan niệm có tính cách mạng về không thời gian. Nhiều người so sánh sự đột biến quan niệm không thời gian gây nên bởi hình học không giao hoán với sự đột biến tư tưởng gây nên bởi lý thuyết nhật tâm (heliocentric) của Copernic và Galilée.

Ý tưởng chính của Alain Connes trong các ứng dụng vào vật lý

Trong vật lý các hạt cơ bản nhiều lúc người ta cần thiết phải đưa vào lý thuyết nhiều hạt để thỏa mãn những quá trình nào đó, ví dụ trong SM phải đưa vào hạt Higgs (hạt bí hiểm chưa tìm ra) để tạo nên khối lượng cho các hạt khác qua tương tác Yukawa. Nếu sử dụng hình học không giao hoán thì những hạt tương tự hạt Higgs sẽ xuất hiện như những hệ quả tự nhiên của cấu trúc hình học mới.
Vì ý tưởng này người ta còn gọi Alain Connes là nhà hình học của Vật lý các hạt cơ bản (geometer of Particle Physics).Tư tưởng trên quả là một tiếp cận mới đối với không thời gian vượt khỏi phạm vi lý thuyết của Einstein.

Một không gian không giao hoán có thể hình dung cấu thành bởi hai lớp không gian liên tục ví như hai mặt của một tờ giấy và giữa hai lớp đó là một không gian gián đoạn không giao hoán.

Quyển sách Hình học không giao hoán nổi tiếng của Alain Connes, trong đó tác giả trình bày NCG, đại số toán tử, lý thuyết lượng tử và nhiều lĩnh vực của vật lý toán, và  ngoài ra nhiều vấn đề mới lý thú và sâu sắc gây tranh luận.

Mô hình chuẩn

Alain Connes (bên trái) nhận phần thưởng nghiên cứu Viện toán Clay nhờ NCG và các công trình cơ bản về vật lý lý thuyết (tháng 5 năm 2000)

Tái chuẩn hóa

Muốn khử phần phân kỳ cần phải bóc tách phần khối lượng dm, vốn có trị số vô cùng ra khỏi khối lượng của electron, đại lượng này phát sinh do tương tác với chân không của trường điện từ. Nhiều người cho rằng quá trình tái chuẩn hóa này mang ít nhiều tính chất giả tạo không hữu cơ với một lý thuyết hoàn chỉnh.
Song Alain Connes cho rằng sau những dãy tính toán phức tạp của quá trình tái chuẩn hóa trong lý thuyết trường lượng tử là những thực tại vật lý, và  những thực tại đó là những viên ngọc toán học. Cần phải một kính hiển vi siêu mạnh để thấy được điều đó và kính hiển vi này chính là “hình học không giao hoán”. Những phân kỳ này không phải là những khuyết tật trong lý thuyết, mà  là những vùng đất vô cùng hấp dẫn cho toán học.

Thời gian

Cùng với Carlo Rovelli (Đại học Marseille) Alain Connes cũng đã chứng tỏ được rằng thời gian xuất hiện một cách tự nhiên từ tính không giao hoán của các đại lượng quan sát được của hấp dẫn. Không gian đã tạo ra thời gian (l’espace engendre le temps). Thời gian chảy một chiều vì tính bất giao hoán của không gian.
Trong khi các nhà vật lý nghiên cứu sự tiến triển của một hệ bằng cách sử dụng những toán tử tác động vào các trạng thái cân bằng thì Alain Connes ngược lại xuất phát từ những trạng thái cân bằng và sử dụng đại số ứng với chúng để tìm ra những trạng thái cân bằng khác, như vậy làm xuất hiện thời gian. Như vậy thời gian phát sinh từ không gian trong NCG.

TOE (Theory of Everything – Lý thuyết của tất cả)

Chúng ta có hai thực tại cần được thống nhất: hấp dẫn tuân theo đối xứng xác định bởi nguyên lý tương đương của Einstein, và vật chất gồm các hạt tuân theo đối xứng nội tại. Liệu có thể tìm một không gian  X tuân theo một đối xứng U bao cả hai đối xứng trên. Alain Connes chứng tỏ rằng một không gian X như thế phải là một không gian có hình học không giao hoán.
Ý tưởng rất sâu sắc của Alain Connes là muốn thống nhất hấp dẫn với lượng tử cần phải thay đổi cấu trúc của không thời gian và để làm điều đó ông đã sử dụng  hình học không giao hoán.
Như chúng ta biết đối với một lý thuyết quan trọng nhất là hàm tác dụng (action). Để phát triển TOE chúng ta cần có các tích phân phiếm hàm mô tả hàm tác dụng (action) thực hiện “tổng trên các hình học - sum over geometries". Alain Connes đã cùng Ali H.Chamseddine (ETH Zurich - Eidgenossiche Technische Hochschule Zurich) tính được tích phân phiếm hàm đối với hình học không giao hoán, như thế có được công cụ cơ bản để phát triển  TOE trên cơ sở NCG.

Cách tiếp cận thống nhất hấp dẫn và lượng tử của Connes khác với cách tiệp cận của lý thuyết siêu dây (superstring theory). Lý thuyết siêu dây cần một năng lượng khổng lồ để kiểm nghiệm, lý thuyết của Connes chỉ cần một năng lượng trong tầm tay của các nhà vật lý (khoảng 160 tỷ eV) để kiểm nghiệm vì thế mà Alain Connes đặc biệt chờ ngày khởi động của LHC.

Theo Connes sự thống nhất hấp dẫn và lượng tử đòi hỏi một không gian gồm 2 phần: một phần liên tục và một phần gián đoạn không giao hoán.

Kết luận

Hình học không giao hoán của Alain Connes đã đưa vào vật lý một quan niệm hoàn toàn mới mẻ có tính cách mạng về không thời gian. Alain Connes đã đề cập đến một tính chất lạ lùng của không thời gian là tính không giao hoán. Tính không giao hoán của không thời gian có thể là cơ sở cho việc xây dựng một lý thuyết thống nhất hấp dẫn và lượng tử, trong đó mọi hạt đều xuất hiện một cách đương nhiên như là hệ quả của không thời gian không giao hoán và vấn đề tái chuẩn hóa, một vấn đề quan trọng của lý thuyết lượng tử được giải thích một cách chặt chẽ về mặt toán học trong khuôn khổ của NCG. 

Chú thích

1/  Trong NCG  không gian  được thay thế bởi một đại số A của tọa độ tác động lên một không gian Hilbert H , ngoài ra nếu xét đến spin của các hạt thì cần thêm toán tử Dirac D để định nghĩa vi phân. Như vậy NCG xác định bởi bộ tam ( (A ,H  ,D).Trong NCG ta cần tính khoảng cách, vi phân và tích phân: a/  Vi phân của một x  ∈ A là df(x) = [D,f(x)], b/ Khoảng cách d(M,N) giữa hai điểm M & N được thay bằng d (M,N) =  sup{ | f(M) – f(N) | ; f ∈A,  ||[ D,f] || ≤1 ], c/ Sử dụng vết của Dixmier  ta có  thể tính được ì f ds  trong đó f  ∈A và ds= (1/D).

Tài liệu tham khảo
[1] Alain Connes, Non commutative geometry, Academic Press,1994
[2] Alain Connes, Non commutative geometry and Physics, ftp://ftp.alainconnes.org/
[3] Alexander Hellemans, Scientific American, tháng 8 năm 2006
[4]  David Larousserie, Sciences et Avenir, tháng 10 năm 2005
[5]  L.O’Raifeartaigh & N.Straumann, Rev.Mod.Phys.,Vol 72, No 1, January 2000
[6]  Thomas Krạewski, Géométrie non commutative et interactions fondamentales