Kì thi olympic Toán quốc tế lần thứ 48

Điểm nổi bật ở kì thi này là số lượng thí sinh và các nước tham gia lớn nhất từ trước tới nay, và quy mô tổ chức của Việt Nam ở mức cao nhất. Buổi lễ khai mạc có Thủ tướng Nguyễn Tấn Dũng tới dự. Chủ tịch nước Nguyễn Minh Triết đã tới bế mạc và trao giải cho 18 thí sinh xuất sắc nhất, trong đó có bạn Đỗ Xuân Bách. Phải nói, chúng ta đã dành cho các bạn bè quốc tế những điều kiện ăn ở và sinh hoạt tốt nhất có thể. GS Hà Huy Khoái cho biết có trưởng đoàn quốc tế phải thốt lên là các thí sinh của họ chưa bao giờ được ở trong những điều kiện sinh hoạt tốt như thế. Năm nay lực lượng chấm thi của Việt Nam rất hùng hậu trong đó có những người từng đoạt giải IMO đang công tác tại nước ngoài về tham gia ban chấm thi và đã chấm chính xác các bài thi viết bằng nhiều thứ ngoại ngữ.

Ban chấm thi IMO 2007

Sau đây là bảng xếp hạng thứ tự 10 nước có tổng số điểm cao nhất (hình 1).

Bảng xếp hạng thứ tự 10 nước có tổng số điểm cao nhất

Konstantin Matveev, người Nga, thí sinh duy nhất đạt điểm cao nhất 37 điểm. Tại những kì trước, thường có 4 - 5 thí sinh được điểm tuyệt đối 42 điểm.

Sáu bài toán năm nay gồm các bài số 1 (giải tích) của New Zealand, bài số 2 (hình học) của Luxembourg, bài số 3 (đồ thị) của Nga, bài số 4 (hình học) của Cộng hoà Czech, bài số 5 (số học) của Anh và bài số 6 (đại số) của Hà Lan.

Theo quy định trưởng đoàn của 6 nước có bài thi được chấm điểm bài đó cho các học sinh của đội chủ nhà Việt Nam .

Kết quả của đoàn học sinh Việt Nam

Bài 1.

Cho trước các số thực a ₁, a ₂ … a _n. Với mỗi i(1 £ i £n) đặt d _i= max { a _j:1 £ j £i} – minvà đặt d= max { d _i:1 £ i £n}.

a) Chứng minh rằng, với các số thực x ₁£x ₂£…£x _n tuỳ ý, ta có

max { | x _i– a _i| :1 £ i £ n} ³ d/2 (*).

b) Hãy chỉ ra rằng tồn tại các số thực x ₁£x ₂£…£x _nsao cho bất đẳng thức (*) trở thành đẳng thức.

Bài 2.

Xét năm điểm A, B, C, D và E sao cho ABCD là một hình bình hành và BCED là một tứ giác nội tiếp. Cho l là một đường thẳng đi qua A. Giả sử rằng l cắt miền trong của đoạn thẳng DC tại F và cắt đường thẳng BC tại G. Cũng giả sử rằng EF = EG = EC. Chứng minh rằng l là phân giác của góc DAB.

Bài 3.

Trong một kỳ thi học sinh giỏi toán có một số thí sinh là bạn bè của nhau. Quan hệ bạn bè luôn là quan hệ hai chiều. Gọi một nhóm các thí sinh là nhóm bạn bènếu như hai người bất kỳ trong nhóm này là bạn bè của nhau. (Một nhóm tuỳ ý ít hơn 2 thí sinh cũng vẫn được coi là một nhóm bạn bè). Số lượng các thí sinh của một nhóm bạn bè được gọi là cỡcủa nó.

Cho biết rằng, trong kì thi này, cỡ của nhóm bạn bè có nhiều người nhất là một số chẵn. Chứng minh rằng có thể xếp tất cả các thí sinh vào hai phòng sao cho cỡ của nhóm bạn bè có nhiều người nhất trong phòng này cũng bằng cỡ của nhóm bạn bè có nhiều người nhất trong phòng kia.

Bài 4.

Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc BCA cắt tại đường tròn ngoại tiếp tam giác tại R, cắt đường trung trực của BC tại P, và đường trung trực của AC tại Q. Trung điểm của BC là K và trung điểm của AC và L. Chứng minh rằng tam giác RPK và tam giác RQL có diện tích bằng nhau.

Bài 5.

Cho trước a và b là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu số 4ab - 1 là ước số của (4a ²- 1) ²thì a = b.

Bài 6.

Cho n là số nguyên dương. Xét S = {(x, y, z): x, y, z Î , x + y + z > 0} như là một tập hợp gồm (n = 1) ³– 1 điểm trong không gian 3 - chiều. Hãy xác định số nhỏ nhất có thể các mặt phẳng mà hợp của chúng chứa tất cả các điểm của S nhưng không chứa điểm (0, 0, 0).