Ông vua toán học Carl Friedrich Gauss

Từ lúc nhỏ tuổi, Gauss đã thể hiện mình là một thần đồng, để lại nhiều giai thoại, trong đó có nhắc đến những phát kiến đột phá về toán học ngay ở tuổi thiếu niên. Ông đã hoàn thành quyển Disquisitiones Arithmeticae, vào năm 24 tuổi. Công trình này đã tổng kết lý thuyết số và hình thành lĩnh vực nghiên cứu này như một ngành toán học mà ta thấy ngày nay.

Thời tuổi trẻ

Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy.

Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn.

Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau.

Thời trung niên

Trong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.

Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng 12 năm 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó. Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa." Vào thời điểm này Gauss tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông bắt đầu cảm thấy ngành toán học cơ bản có thể không đảm bảo đủ thu nhập. Ông đã tìm việc trong ngành thiên văn học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại của cuộc đời.

Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo.

Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ. Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho thiên văn học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý Gauss-Markov). Phương pháp này đã được Adrien-Marie Legendre dùng vào năm 1805, nhưng Gauss nói ông đã dùng nó từ năm 1795.

Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope (?) sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.

Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ông chưa bao giờ xuất bản các công trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một cuộc cách mạng trong tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà toán học khỏi giả thuyết rằng các tiên đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học không tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu về hình học này, cùng với các ý tưởng khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, miêu tả vũ trụ trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của Gauss, người mà Gauss đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng minh định đề song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của Bolyai, Janos Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản công trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của Janos Bolyai, Gauss đã viết cho Farkas Bolyai: "Nếu khen công trình này thì tức là tự khen tôi. Toàn bộ nó ... trùng hoàn toàn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm năm qua." Câu nói khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với János Bolyai (người đã nghĩ rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).

Cuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra phân bố Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ông đến một lĩnh vực mới là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các đường cong và bề mặt. Ông đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này, theorema egregrium xây dựng một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng độ cong của một bề mặt có thể được đo hoàn toàn bởi góc và khoảng cách trên bề mặt đó; nghĩa là, độ cong hoàn toàn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào trong không gian (ba chiều) bao quanh.

Cuối đời và sau đó

Năm 1831 Gauss đã hợp tác hiệu quả với nhà vật lý học Wilhelm Weber; hai ông đã cho ra nhiều kết quả mới trong lĩnh vực từ học (trong đó có việc biểu diễn đơn vị từ học theo khối lượng, độ dài và thời gian) và sự khám phá ra định luật Kirchhoff trong điện học. Gauss và Weber đã lắp đặt được máy điện toán điện từ đầu tiên vào năm 1833, liên lạc thông tin từ đài thiên văn về viện vật lý ở Göttingen. Gauss đã cho xây một trạm quan sát từ học trong khu vườn của đài thiên văn và cùng Weber thành lập "câu lạc bộ từ học" (magnetischer Verein), phục vụ việc đo đạc từ trường Trái Đất tại nhiều nơi trên thế giới. Ông đã sáng chế ra một phương pháp đo thành phần nằm ngang của từ trường, một phương pháp được tiếp tục ứng dụng sau đó cho đến tận nửa đầu thế kỷ 20, và tìm ra một lý thuyết toán học cho việc định vị các nguồn từ trường trong lòng Trái Đất (tách biệt nguồn do lõi và vỏ Trái Đất với nguồn do từ quyển hành tinh này.
Gauss mất ở Göttingen, Hannover (nay thuộc Hạ Saxony, Đức) năm 1855 và được chôn cất tại nghĩa trang Albanifriedhof. Bộ não của ông được bảo quản và nghiên cứu bởi Robert Heinrich Wagner; nó nặng 1.492 gam và có diện tích vỏ não rộng 219.588 xentimét vuông. Trên vỏ não cũng tìm thấy nhiều nếp cuộn, một đặc điểm được nhiều người vào đầu thế kỷ 20 cho là lời giải thích cho trí tuệ đặc biệt của ông (Dunnington, 1927). Tuy nhiên, ngày nay môn não học này được cho là giả khoa học.

Gia đình

Cuộc sống riêng tư của Gauss đã bị ảnh hưởng nghiêm trọng bởi cái chết của người vợ đầu tiên, Johanna Osthoff, vào năm 1809, và của một đứa con, Louis, ít lâu sau. Ông lập gia đình lần thứ hai với Friederica Wilhelmine Waldeck (thường gọi là Minna), một người bạn gái của vợ cũ, nhưng Minna lại mất vào năm 1831 sau một thời gian dài đau ốm. Từ đó người con gái Therese của ông phải chăm lo cho gia đình cho đến khi ông mất. Mẹ của Gauss cũng sống trong cùng mái nhà từ năm 1812 đến khi bà mất vào năm 1839.

Gauss có sáu người con. Với người vợ thứ nhất, Johanna (1780-1809), các con là Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1846) và Louis (1809-1810); trong số đó Wilhelmina được coi là có có trí tuệ giống cha nhất nhưng cô lại mất sớm. Với người vợ thứ hai, Minna Waldeck, ông cũng có ba con: Eugen (1811-1896), Wilhelm (1813-1879) và Therese (1816-1864).

Cá tính

Gauss là người cuồng nhiệt theo chủ nghĩa hoàn hảo và một người lao động cần cù. Có giai thoại kể rằng một lần, lúc Gauss đang giải một bài toán, có người đến báo với ông rằng vợ ông sắp mất. Ông đã nói "Bảo cô ấy đợi chút cho đến lúc tôi xong việc". Ông không phải là người xuất bản nhiều tác phẩm khoa học, từ chối việc đăng các công trình của ông khi chúng chưa được ông cho là hoàn hảo hay còn nằm trong tranh luận. Khẩu hiệu của ông là pauca sed matura (ít, nhưng chín chắn). Một nghiên cứu nhật lý của ông cho thấy ông đã khám phá ra nhiều khái niệm toán học quan trọng nhiều năm hoặc nhiều thập kỷ trước khi chúng được xuất bản bởi các đồng nghiệp đương thời. Một nhà viết lịch sử toán học, Eric Temple Bell, ước đoán rằng nếu Gauss xuất bản hết mọi công trình của ông, toán học đã có thể tiến nhanh hơn 50 năm. (Bell, 1937.)

Một phê bình khác về Gauss là ông không hỗ trợ các nhà toán học trẻ tiếp bước ông. Ông rất hiếm khi hợp tác với các nhà toán học khác và bị nhiều người cảm thấy tách biệt và khắt khe. Mặc dù ông có một số học trò, Gauss có vẻ không thích dạy học (có người nói ông chỉ dự duy nhất một hội thảo khoa học, ở Berlin năm 1828). Tuy nhiên, một số học trò của ông sau này cũng trở thành các nhà toán học lớn, như Richard Dedekind và Bernhard Riemann.
Gauss là người theo đạo và bảo thủ. Ông ủng hộ hoàng gia và chống lại Napoleon Bonaparte người mà ông cho là sản phẩm của cách mạng.

Ghi công

Từ 1989 đến 2001, hình của ông cùng với biểu đồ phân bố Gauss được in trên tờ tiền giấy 10 mark Đức. Đức cũng đã in 3 con tem kỷ niệm về Gauss. Con tem số 725, phát hành năm 1955 nhân kỷ niệm 100 năm ngày mất của Gauss; hai tem khác, số 1246 và 1811, được phát hành năm 1977, kỷ niệm 200 năm ngày sinh của ông.

G. Waldo Dunnington, một học trò lâu năm của Gauss, đã viết nhiều về Gauss trong:  Carl Frederick Gauss: Titan of Science. (Carl Frederick Gauss: Người khổng lồ về Khoa học). Quyển này được tái bản năm 2003.

Hố Gauss trên bề mặt Mặt Trăng và tiểu hành tinh 1001 Gaussia đều được đặt tên để ghi công ông.

Cuộc thi toán hằng năm tổ chức bởi Đại học Waterloo cho các học sinh trung học tại Canada được đặt tên theo Gauss.