Con quỷ toán học làm thay đổi thế giới

Archimedes, Isaac Newton, và Henri Poincaré.

Đó là nhận định của Melvyn Bragg trong cuốn “On Giants’ Shoulders” (Đứng trên vai những người khổng lồ). Riêng Poincaré được gọi là “nhà đại quảng bác cuối cùng” (the last universalist) - người cuối cùng có những khám phá phi thường bao trùm lên hết thảy mọi lĩnh vực toán học và vật lý đương thời, đồng thời mở ra những chân trời mới của khoa học để hậu thế tiếp tục khai phá. Thiên tài của Poincaré đã bộc lộ từ nhỏ, dến nỗi một thầy giáo dạy toán đã gọi cậu học trò này là “con quỷ toán học” (un monstre de methématiques). Nhưng…

1* “Con quỷ toán học” làm thay đổi thế giới:

Nhưng “con quỷ toán học ấy đã chứng minh rằng cậu đúng là như thế: Cậu đã biến đổi nền toán học trong phần còn lại của thế kỷ 20”, Bragg viết.

Nhận định của Bragg hoàn toàn đúng, nhưng thực ra, cùng với những người như Max Planck, Albert Einstein… Poincaré còn làm thay đổi cả vật lý trong phần còn lại của thế kỷ 20.

Poincaré đã 51 lần được đề cử nhận Giải Nobel vật lý, nhưng tại sao ông chưa một lần đoạt giải Nobel? Đơn giản vì những đóng góp lớn nhất của Poincaré cho vật lý chứa đựng những tư tưởng vượt quá xa thời đại của ông, điển hình như: Tư tưởng về tính bất định của những hệ động lực học phức tạp – cơ sở của Lý thuyết hỗn độn (Theory of Chaos) sau này. Vì thế Poincaré được coi như cha để của Lý thuyết hỗn độn; Tư tưởng về tương đối tính (Relativité) – chính Poincaré là người đầu tiên đặt ra thuật ngữ này. Vì thế ông được coi như một trong 3 đồng tác giả chủ yếu của Thuyết tương đối hẹp (Special Theory of Relativity), như ta sẽ thấy rõ điều này ở một mục sau; Và thiết tưởng, nếu không có Lý thuyết topo (Topology) thì không biết toán học và vật lý học ngày nay sẽ ra sao. Vậy mà Poincaré lại chính là cha đẻ của Topo đại số.

Chỉ riêng đóng góp của Poincaré đối với ba lý thuyết khổng lồ nói trên cũng đã quá đủ để thấy Poincaré đã làm thay đổi thế giới ra sao. Nhưng sẽ là một thiếu sót lớn nếu nghĩ rằng “con quỷ toán học” chỉ nghiên cứu khoa học thuần tuý: Poincaré đồng thời còn là một nhà triết học thâm thuý, một nhà tư tưởng có tầm nhìn xa trông rộng.

2* Poincaré, nhà tư tưởng nhìn xa trông rộng:

Một sinh viên của Poincaré viết về thầy của mình: “Poincaré luôn kết thúc buổi giảng bằng những công thức đơn giản, được diễn giải bằng một thứ ngôn ngữ đầy hình ảnhđến nỗi buộc chúng tôi phải hiểu”.

Với Poincaré, toán học phải sinh động, giầu hình ảnh, đầy cảm nhận trực giác - ký hiệu hay phương trình chỉ là công cụ để thể hiện một tư tưởng, thay vì một thứ ngôn ngữ chết, một chuỗi suy diễn logic máy móc, vô hồn vô cảm. Điều này giải thích vì sao Poincaré quyết liệt chống đối chủ nghĩa toán học hình thức ngay từ buổi trứng nước của nó.

Đầu thế kỷ 20, bất chấp đa số các nhà toán học lao theo con đường do David Hilbert vạch ra, dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm Chiếc Chén Thánh Toán Học (The Holy Grail of Mathematics) - một hệ thống logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi hiện thực, không đếm xỉa tới trực giác - Poincaré vẫn kiên quyết đi trên con đường riêng của mình và không ngừng cảnh báo: “Nhà toán học xa rời thực tiễn giống như một hoạ sĩ bị tước đi vật mẫu”. Lịch sử chứng minh Poincaré là một nhà tiên tri:

- Năm 1902, Nghịch lý Russell ra đời, cho thấy chủ nghĩa logic hình thức giống như con rắn tự nuốt đuôi của mình. “Cuối cùng thì chủ nghĩa logic cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Rốt cuộc nó cũng sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lý”. Bất chấp sự khác biệt về lý tưởng toán học, Russell vẫn khảng khái nhận định: “Poincaré là người có tài trí khoa học vĩ đại nhất đang còn sống”.

- Năm 1931, Định lý Godel ra đời, xác nhận chủ nghĩa hình thức quả thật là một ảo tưởng, do đó Poincaré quả thật là người nhìn xa trông rộng!

Nhưng trớ trêu thay, giới toán học bảo thủ hơn chúng ta tưởng rất nhiều: Bất chấp định lý Godel, chủ nghĩa Hilbert tiếp tục “sống khoẻ” mãi cho tới những năm 1970. Phải đợi tới những thập kỷ cuối của thế kỷ 20 nó mới thật sự lộ chân tướng. Tuy nhiên, tính bảo thủ này càng dai dẳng bao nhiêu càng để lộ cho thấy Poincaré tiên tri bấy nhiêu. Đó là lý do để sau một thế kỷ, những tác phẩm triết học khoa học của ông càng trở nên trứ danh:

- “Science et hypothèse” (Khoa học và giả thuyết, ra mắt năm 1902), - “La valeur de la science” (Giá trị của khoa học, 1905), - “Science et méthode” (Khoa học và phương pháp, 1908), - “Savants et écrivains” (Nhà bác học và nhà văn, 1910),

Những triết luận sâu sắc, hùng hồn, hấp dẫn, đến nỗi Poincaré được đánh giá như một nhà triết luận tài ba, và đã trở thành nhà khoa học đầu tiên được bầu vào Viện hàn lâm văn chương Pháp (Académie Francaise).

Đáng tiếc là chưa có một tác phẩm nào nói trên được dịch ra tiếng Việt. Điều này cũng dễ hiểu: Sự chậm trễ của người Việt chúng ta chỉ là tấm gương phản chiếu sự chậm trễ trên toàn cầu.

Nhưng thế giới đã thức tỉnh, và khi tỉnh dậy, người ta ngạc nhiên chứng kiến một Poincaré luôn luôn có mặt trên tuyến đầu của tất cả các cuộc cách mạng lớn nhất về nhận thức trong thế kỷ 20!

3* Cuộc cách mạng từ xác định tới bất định:

Trước thế kỷ 20, tư tưởng thống trị trong khoa học là chủ nghĩa tất định(determinism) – chủ nghĩa cho rằng vũ trụ vận hành theo những quy luật xác định và tất yếu như một chiếc đồng hồ. Đó là “chiếc đồng hồ Newton” (Newtonian clock), bởi vì với cơ học Newton , người ta có thể xác định được trạng thái của vũ trụ tại bất kỳ một thời điểm nào trong tương lai hoặc quá khứ, nếu biết trạng thái của nó tại một thời điểm cho trước. Đó là “Tất định luận Laplace” ( Laplace’s determinism) một học thuyết đóng đinh vào tư tưởng của thế kỷ 19. Nhưng “Tất định luận” đã sụp đổ trong thế kỷ 20 bởi hàng loạt lý thuyết chứng minh rằng thế giới bất định và hỗn độn nhiều hơn là xác định và chắc chắn! Đây là mâu thuẫn lớn nhất mà khoa học đang phải đối mặt:

Tham vọng của khoa học dự báo tương lai, nhưng Nguyên lý bất định của Heisenberg, Định lý bất toàn của Kurt Gdel, Lý thuyết hỗn độn mà Henri Poincaré là người đặt nền móng nói với chung ta rằng dự báo dài hạn và tổng quát đối với những hệ thống phức tạp là BẤT KHẢ!

Ngay từ năm 1890 khi Poincaré công bố lời giải “Bài toán ba vật thể”, trong đó ông mô tả:

“Khi tôi cố gắng mô tả hình ảnh được tạo ra bởi hai đường cong này và vô số giao điểm của chúng, … những giao điểm này tạo nên một mạng lưới, một mớ lằng nhằng hoặc một cạm bẫy vô cùng rắc rối. Tôi hết sức kinh hoàng vì tính phức tạp của hình ảnh này đến nỗi tôi không cố sức để vẽ nó ra nữa”.

Năm 1908, trong cuối Science et méthode, ông giải thích rõ hơn:

“Một nguyên nhân rất nhỏ mà chúng ta không nhận thấy có thể dẫn tới một hậu quả lớn đến mức không thể đoán trước, và vì thế chúng ta bảo rằng hậu quả này xẩy ra do ngẫu nhiên … Có thể xẩy ra trường hợp những khác biệt vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu dẫn tới những hậu quả vô cùng lớn trong hiện tượng sau cùng. Một sai lệch nhỏ ban đầu có thể gây ra một sai lệch khổng lồ trong kết quả. Dự đoán trở nên bất khả, và chúng ta có một hiện tượng ngẫu nhiên”.

Đó chính là tuyên ngôn mở đầu về những hiện tượng không thể dự đoán trước. Lần đầu tiên trong khoa học, bản chất ngẫu nhiên đã được đề cập. Lần đầu tiên tư tưởng tất định từng ngự trị trong hàng trăm năm trước, ít nhất kể từ thời Newton , đã bị nghi vấn. Đó là “vụ nổ đầu tiên” của cuộc cách mạng đầu tiên về cái ngẫu nhiên, bất định, và hỗn độn trong thế kỷ 20!

Melvyn Bragg viết: Poincaré là “người tình cờ khám phá ra tính hỗn độn”, nhưng đó là sự tình cờ vĩ đại chỉ xẩy ra ở những bộ óc vĩ đại!

4* Giả thuyết Poincaré:

Đây là một trong 7 Bài toán thiên niên kỷ được viện toán học Clay ở Mỹ trao giải thưởng 1 triệu USD cho mỗi bài toán. Poincaré nêu lên giả thuyết này từ năm 1904, như một thách thức đối với những bộ óc siêu việt nhất của nhân loại.

Thông thường, bài toán tổng quát trong không gian n chiều là bài toán khó nhất, nhưng kỳ lạ thay, lịch sử giải bài toàn này lại rất “ngược đời”:

- Năm 1966, Stephen Smale đoạt Giải Fields (giải thưởng danh giá nhất trong toán học, được xem như Giải Nobel toán học) vì đã chứng minh được giả thuyết trong trường hợp n = 5 và n > 5.

- Trong những năm 1970, William Thurston đoạt Giải Fields vì chứng minh được một tính chất đặc biệt của các đa tạp 3 chiều và chứng minh này được coi là một đóng góp lớn vào việc chứng minh GP.

- Năm 1982, Michel Friedman đoạt Giải Fields vì chứng minh được GP đúng với n = 4.

- Cuối năm 2002, Grigori Perelman, tiến sĩ thuộc Viện toán học Steklov ở St Petersburg, Nga, bắt đầu công bố các chứng minh của ông trên internet. Tháng 05-2006, Liên đoàn toán học quốc tế thừa nhận chứng minh của Perelman là đúng: Cùng một lúc, Perelman đoạt Giải Fields 2006 và Giải Thiên Niên Kỷ của Viện Clay, nhưng ông từ chối cả hai. Ông là hiện thân của nhà khoa học mà chính Poincaré đã mô tả: “Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì vụ lợi; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống”. Perelman thật sự vĩ đại, vì đã giải được một bài toán vĩ đại. Sự vĩ đại ấy hàm chứa trong phát biểu của nhà toán học lỗi lạc Đào Triết Hiên (Terence Tao), người hiện nay được mệnh danh là “Mozart của toán học” (danh hiệu trước đây dành cho Poincaré): “Những bài toán thiên niên kỷ giống như những vách đá thẳng đứng bên bờ biển, không có chỗ bám víu. Tôi không biết làm thế nào mà có thể leo lên tới đỉnh. Theo ý kiến của tôi, đối với tất cả chúng ta có mặt ở đây, chứng minh Giả thuyết Poincaré của Perelman là một thành tựu kỳ vĩ, xứng đáng nhất để trao giải thưởng … chứng minh của Perelman thật sự là một loạt các đột phá…”.

Với 4 Giải Fields đã đoạt được, lời giải của Giả thuyết Poincaré đã chiếm kỷ lục về số giải thưởng cao quý nhất mà một bài toán có thể đạt được. Nói cách khác, nó cũng chiếm kỷ lục về sự tiêu hao năng lượng của những bộ óc vĩ đại nhất thế kỷ 20. Điều đó thiết tưởng đã quá đủ để nói lên tầm vóc của tác giả giả thuyết đó.

5* Poincaré và Thuyết tương đối hẹp:

Vốn ngưỡng mộ Einstein, năm 2005 tôi thật sự bị choáng khi đọc bài báo “Anhxtanh, thiên tài đạo văn?” trên tạp chí Khoa học & công nghệ số 1-2005. Thoạt nhìn đầu đề bài báo, tôi có cảm giác khó chịu, nhưng ngay sau khi đọc xong, tôi thấy cần tìm hiểu sự thật một cách kỹ lưỡng, vì bài báo được viết theo những nguồn thông tin nghiêm túc.

Sự thật là không có vấn đề tranh quyền tác giả xung quanh “Thuyết tương đối hẹp” nhưng trớ trêu thay, “Năm vật lý Einstein 2005”, đã trở thành dịp phơi bầy ra nhiều sự thật trước đây ít được biết, gây nên tranh cãi lớn xung quanh câu hỏi ai là tác giả thật sự của Thuyết tương đối hẹp, trong đó nổi lên ba nhóm ý kiến:

- Nhóm 1 gồm những người đề cao đóng góp của những người đi trước Einstein về tương đối tính. Điển hình là Edmund Whittaker (1), cho rằng Thuyết tương đối hẹp là đóng góp chủ yếu của Lorentz và Poincaré, còn Einstein chỉ là người mở rộng thêm vấn đề.

- Nhóm 2 gồm những người mắc bệnh sùng bái Einstein, coi Einstein như “ông thánh khoa học” và do đó cho rằng Thuyết tương đối hẹp chỉ có thể là sản phẩm của một bộ óc phi thường duy nhất – bộ óc Einstein. Điển hình cho nhóm này là Amir Aczel, tác giả cuốn “Phương trình của Chúa”.

- Nhóm 3 gồm những người có thái độ khách quan tôn trọng sự thật. Đó là thái độ khoa học chân chính. Một trong những nhân vật điển hình của nhóm này là Max Born, nhà vật lý đoạt Giải Nobel năm 1954, một người bạn của Einstein, và cũng là người nổi tiếng chính trực.

Theo một bài báo trên tạp chí NEXUS tập 11, số 1, thì trong cuốn “Physics in My Generation” (Vật lý trong thế hệ của tôi) của Max Born, do Pergamon Press xuất bản tại London năm 1956, trang 193, Born viết:

“Thêm một nét đặc biệt khác thường nữa của công trình hiện nay đang nổi tiếng, công trình của Einstein năm 1905, là sự vắng mặt của bất kỳ một tham khảo nào về Poincaré hoặc về bất kỳ ai khác. Điều đó gây cho bạn ấn tượng rằng đây là một cuộc mạo hiểm hoàn toàn mới. Nhưng tất nhiên, như tôi đã cố gắng giải thích, điều đó không đúng sự thật”.

May thay, chính Einstein đã sửa chữa sự hiểu lầm đó: Hai năm trước khi mất, tức năm 1953, ông gửi thư cho ban tổ chức kỷ niệm lần thứ 50 ngày ra đời Thuyết tương đối hẹp sẽ tổ chức vào năm 1955, trong đó viết:

“Tôi hy vọng chúng ta cũng sẽ quan tâm tới việc vinh danh thích đáng công lao của Lorentz và Poincaré vào dịp đó”.

Đó là đảm bảo bằng vàng đối với công lao của Lorentz và Poincaré!

Công lao ấy đã được làm sáng tỏ trong bài báo “ Ai phát minh ra Thuyết tương đối?” (Who Invented Relativity?) của Hermann Weyl, một trong những nhà toán học và vật lý xuất sắc nhất thế kỷ 20. Weyl mở đầu:

“Mọi sự khởi đầu đều không rõ ràng”, rồi ông viết tiếp:

“Một trong những khía cạnh lịch sử thú vị của thuyết tương đối hiện đại là ở chỗ, mặc dù nó thường được xem như một đóng góp cực kỳ độc đáo và cách mạng của một cá nhân duy nhất, nhưng hầu hết mọi tư tưởng và sự trình bầy của lý thuyết này đã được những người khác nói từ trước. Chẳng hạn, cả phương trình hiệp biến Lorentz (Lorentz covariance) lẫn quán tính của năng lượng đều đã ngầm chứa trong các phương trình Maxwell. Cũng vậy, năm 1887 Voigt đã rút ra những phép biến đổi Lorentz một cách hình thức dựa trên những khảo sát tổng quát đối với phương trình sóng. Vào những năm 1890, trong phạm vi điện-động-lực-học, Fitzgerald, Larmor, và Lorentz, tất cả đều đã đi tới những phép biến đổi Lorentz, bao gồm tất cả những hiệu ứng khác thường gắn liền với Thuyết tương đối hẹp của Einstein như hiện tượng dãn thời gian và co độ dài. Năm 1905, Poincaré đã phát biểu rõ ràng nguyên lý tương đối và nhiều hệ quả của nó, đã chỉ ra sự thiếu cơ sở thực tiễn của tính đồng thời tuyệt đối (absolute simultaneity), đã thách thức ý nghĩa bản chất của ê-te, và đã chứng minh rằng những phép biến đổi Lorentz chứa một nhóm biến đổi có ý nghĩa giống như các phép biến đổi Galileo”.

Sau khi đề cập đến việc so sánh Einstein với Copernicus, Weyl cho rằng việc so sánh đó là đúng, rồi ông phân tích tiếp:

“Chỉ những người kế tiếp như Kepler, Galileo, và Newton , nhờ đào xới những hiểu biết của Copernicus đến mức sâu sắc hơn chính Copernicus đã làm thì mới thực sự tạo ra được một lý thuyết vật lý mới lạ về chất. Rõ ràng là Copernicus chỉ là một trong số nhiều người tập hợp lại để cùng tạo nên cuộc cách mạng Copernicus trong khoa học, và chúng ta có thể lập luận tương tự rằng Einstein cũng chỉ là một trong số những cá nhân bao gồm cả Maxwell, Lorentz, Poincaré, Planck và Minkowski cùng có trọng trách đối với cuộc cách mạng về tương đối tính”.

“Trong những năm cuối đời Einstein nhận xét rằng không nghi ngờ gì nữa Thuyết tương đối hẹp, nếu đánh giá sự phát triển của nó trong sự hồi tưởng quá khứ, là đã chín muồi để được khám phá ra trong năm 1905. Cùng với Lorentz, người tiến gần nhất tới việc khám phá ra thuyết tương đối hẹp trước Einstein chắc chắn là Poincaré, người đã đề xuất trong năm 1900 một định nghĩa rõ ràng thích hợp về tính đồng bộ hoá của đồng hồ và năm 1904 đã gợi ý rằng ê-te về nguyên tắc là không thể phát hiện được … Hai đề xuất đó và những hệ quả của chúng về cơ bản đã là hiện thân của toàn bộ Thuyết tương đối hẹp”.

Trong thời đại thông tin ngày nay, quan điểm của Weyl đã đến với mọi người, và được nhiều học giả thể hiện sự đồng thuận.

Chẳng hạn bài báo “Poincaré contemplates Copernicus”(11) (Poincaré suy ngẫm về Copernicus) viết: “Hai công trình của Poincaré năm 1905 cùng với những công trình của ông trước đó đã mô tả một cách rõ ràng một lý thuyết về tương đối tính, ngay cả khi nó không giống với lý thuyết của Einstein trong mọi khía cạnh triết học”.

Sau đó bài báo trích dẫn lời của chính Poincaré viết năm 1905 (trước khi Einstein công bố công trình của ông về tương đối hẹp), rằng:

“Dường như việc không thể phát hiện được chuyển động tuyệt đối trên trái đất bằng thí nghiệm có thể là một định luật tổng quát của tự nhiên; Một cách tự nhiên chúng ta có khuynh hướng thừa nhận định luật này, mà chúng ta gọi là Tiên đề về tính tương đốivà thừa nhận vô giới hạn. Tiên đề này đến nay vẫn phù hợp với thực nghiệm, nhưng dù cho sau này nó có thể được xác nhận thêm hoặc bị bác bỏ bởi những thí nghiệm chính xác hơn, thì trong mọi trường hợp, việc tìm hiểu những hệ quả của nó vẫn rất thú vị”.

Một bài báo khác nhan đề “Relativity” (Thuyết tương đối) trên trang mạng “How it works”(12) viết: “Thuyết tương đối hẹp được phát triển một cách độc lập bởi Henri Poincaré tại Paris và Albert Einstein tại Zürich … Henri Poincaré là người khởi đầu thật sự của thuyết tương đối”. Theo bài báo này thì chính Poincaré chứ không phải ai khác đã là người đầu tiên gieo thuật ngữ “relativité” (tương đối tính) vào thế giới khoa học, và cũng chính Poincaré chứ không phải ai khác đã là người đầu tiên nêu lên hệ quả của tính tương đối, rằng không có cái gì có thể chuyển động nhanh hơn ánh sáng. Đó chính là một tiên đề cơ bản của Thuyết tương đối hẹp. Nhưng cũng chính Einstein chứ không phải ai khác đã có công giải đáp những nghịch lý về ê-te do Lorentz và Poincaré khám phá ra. Nói cách khác, Einstein đã đẩy tư tưởng của Lorentz và Poincaré tới bước quyết định mang tính cách mạng.

6* Kết:

Câu nói nổi tiếng của Newton, “Nếu tôi nhìn được xa hơn, ấy là vì tôi đứng trên vai những người khổng lồ”, thực ra đó là một lối nói ẩn dụ đã lưu truyền trong nền văn hoá Tây phương từ xa xưa, nguyên văn tiếng La-tinh là “Nanos gigantum humeris insidentes”, tức “Những chú lùn đứng trên vai những người khổng lồ”. Tuy nhiên, những người như Newton, Einstein, Poincaré không phải là “những chú lùn”, mà là những người khổng lồ đứng trên vai những người khổng lồ- tầm nhìn của họ quá xa, quá rộng, không dễ gì có thể hiểu hết những điều họ nghĩ trong một thời gian ngắn.

Nhưng dường như chưa bao giờ bức chân dung Poincaré hiện ra rõ rệt như hiện nay, khi những dịp kỷ niệm lớn về ông đang tới:

- Năm 2010 là dịp kỷ niệm 120 năm ngày ra đời của tư tưởng về cái hỗn độn – ngày công bố lời giải của Poincaré đối với “Bài toán Ba Vật Thể”.

- Năm 2012 sẽ là dịp kỷ niệm tròn 100 năm ngày mất của Poincaré. Điều này gợi nhớ tới ý kiến của nhà toán học Jean Mawhin tại Viện quốc tế Solvay về vật lý và hoá học ở Brussels, Bỉ, viết năm 2004, nhân kỷ niệm 150 năm ngày sinh của Poincaré:

“Năm 1954, cộng đồng khoa học kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Poincaré. Tại thời điểm đó, danh tiếng của Poincaré không nằm ở vị trí cao nhất trong số các nhà toán học, (vì) tinh thần Hilbert đang thống trị trong phần lớn tư duy toán học. Đó cũng không phải là điểm cao nhất của Poincaré trong vật lý, vì vật lý đang quan tâm chủ yếu đến lý thuyết lượng tử. (Nhưng) bất chấp điều đó, lễ kỷ niệm vẫn rất quan trọng trong những lĩnh vực mà sự hiện diện hoặc tên tuổi của Poincaré có ý nghĩa, và nội dung của những lĩnh vực đó đã được công bố trong một Cuốn Sách Vàng (Golden Book), được tái bản trong tập cuối của bộ sách Công trình khoa học của Poincaré. Năm nay chúng ta kỷ niệm tròn 150 năm ngày sinh của Poincaré, sự nổi tiếng của Poincaré đã đạt tới những đỉnh cao mới trong thế giới khoa học, thậm chí đối với cả những người không làm khoa học. Lý thuyết hỗn độn và nguồn gốc của Thuyết tương đối đã đưa tên tuổi và chân dung của Poincaré lên các tạp chí khoa học nổi tiếng nhất”.

Tài liệu tham khảo:

[1]: “ On Giants’ Shoulders”, Melvyn Bragg, Sceptre Edition, London 1998,

[2]: “ Henri Poincaré-A life at the Service of Science”, Jean Mawhin, Proceedings of the Symposium Henri Poincaré, International Solvay Institutes for Physics&Chemitry, Brussels, 8-9 Oct 2004.

[3]: “ Henri Poincaré” trên trang mạng: http://www-chaos.umd.edu/misc/poincare.html

[4]: “ Who invented relativity?”, Herman Weyl, mathspage:

http://www.mathpages.com/rr/s8-08/8-08.htm

[5]: “ Poincaré contemplates Copernicus”, mathspage:

http://www.mathpages.com/HOME/kmath305/kmath305.htm

[6]: “ Henri Poincaré”, Wikipedia:   http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincaré

[7]: “ The Relativity of Space”, Henri Poincaré, một bài trong “Science et méthode”.

[8]: “ What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Vintage Publisher, London , 1998

[9]: “ From Certainty to Uncertainty”, David Peat, The National Academies Press, US2002

[10]: “ How It Works: Relativity”: http://leebor2.100webspace.net/relativity.html

[11]: “ Science et méthode”, Henri Poincaré, Flammarion, Paris 1908 (English version, Science and Method, published by Dover Edition, New York 2003).

Chú thích:

1.Edmund Taylor Whittaker là một nhà toán học Anh, viện sĩ Hội Hoàng Gia Anh, từng được tặng Huân chương Copley, một phần thưởng danh dự nhất trong khoa học Anh. Cuốn “A History of the Theories of Aether and Electricity” được viết năm 1910, trình bầy lịch sử các lý thuyết về ether từ René Descartes tới Hendrik Lorentz. Năm 1953, cuốn sách này ra mắt Tập II, gây nên tranh cãi vì Chương  “Thuyết tương đối của Poincaré và Lorentz”, trong đó coi Poincaré và Lorentz là những người xây dựng nên Thuyết tương đối hẹp, trong khi xem nhẹ đóng góp của Einstein.

2.”God’s Equation” của Amir Aczel đã được dịch ra tiếng Việt dưới tiêu đề “Câu chuyện về phương trình thâu tóm cả vũ trụ”, do Phạm Việt Hưng dịch,, NXB Trẻ năm 2004.