Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands

Câu chuyện có lẽ phải quay về Galois, nhà toán học người Pháp , người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Cuộc đời của Galois là câu chuyện về một thiên tài đoản mệnh mang âm hưởng như một sáng tác văn chương. Trong đêm cuối cùng của cuộc đời mình, Galois để lại bức thư tuyệt mệnh trong đó có nêu phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a. Nhưng định lý Abel không cho biết khi nào phương trình đa thức có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois . Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois . Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.

Từ thế kỷ 17 Fermat, một nhà toán học Pháp, từng đặt câu hỏi một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17... Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm. Đầu thế kỷ 20 Artin, một nhà toán học Áo tổng quát thành định luật nghịch đảo mà bây giờ được mang tên ông. Đến năm 1967 Langlands, một nhà toán học Mỹ gốc Canada , tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu. Hình thức tự cấu có thể coi là những hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hay cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác chúng bất biến nếu ta dịch chuyển cả đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2 pi. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands chỉ ra tương lai của lý thuyết số là ở hiểu biết các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hay ở các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy một số (ví dụ như số 4 trong định lý Fermat kể trên là chu kỳ cho số nguyên tố lẻ có tính chất là tổng của hai số chính phương) thực ra là một ma trận 1x1. Như vậy sự dịch chuyển chu kỳ kiểu như vậy trong định lý Fermat kể trên có thể biểu diễn bằng một số hay một ma trận 1x1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.

Các nhà toán học khi khám phá các quy luật toán học thường hay phát biểu dưới dạng định đề, tức là một mệnh đề toán học mà có lẽ nó đúng nhưng hiện tại chưa chứng minh được hay mới chỉ chứng minh được tính đúng của nó cho một số trường hợp con. Bằng cách nào mà các nhà toán học phát minh ra được các định đề là một điều bí ẩn, ít nhất là trong cảm nhận của tôi. Tôi có cảm giác đó như là một nghệ thuật hay là một dạng mặc khải về cái đẹp, có nghĩa là chúng ta chỉ có thể kinh ngạc hay sững sờ về chúng mà không thể tài nào lý giải được tại sao chúng lại có thể xuất hiện và hợp lý đến thế. Năm 1967 Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, mà cụ thể hơn là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Đấy là chương trình Langlands, và là một lý thuyết thống nhất lớn của toán học trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số .

Bổ đề cơ bản nằm trong chương trình Langlands. Nó là một kết quả quan trọng trong lý thuyết hình thức tự cấu. Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá hiện tượng về hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu Labesse và Langlands mới chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Năm 2008 Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả trường hợp và kết quả được khẳng định vào năm nay. Như vậy Ngô Bảo Châu đặt dấu chấm hết cuối cùng cho Bổ đề cơ bản, kết thúc lịch sử 30 năm của nó.

GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến xin giới thiệu vắn tắt Chương trình “Bổ Đề Cơ Bản” trong Chương trình Langlands của GS Ngô Bảo Châu:

Robert Phelan Langlands là nhà toán học Mỹ gốc Canada(sinh ngày 6/10/1936, tuổi Chuột, tại New Westminster, British Columbia, Canada) là giáo sư danh dự (emeritus professor) của Viện Nghiên cứu cao cấp (Institute for Advanced Study, Mỹ).

Công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu và lý thuyết biểu diễn có ảnh hưởng rất lớn tới Lý thuyết số, năm 1957, Langlands tốt nghiệp Đại học British Columbia và nhận bằng thạc sỹ cũng tại đại học này năm 1958, nhận học vị tiến sỹ tại Đại học Yale năm 1960. Sau đó, từ 1960 đến 1967 ông giảng dạy tại Đại học Princeton và ông nhận học hàm phó giáo sư tại đại học này, rồi từ năm 1967 đến 1972 ông trở về giảng dạy tại Đại học Yale. Năm 1972, ông được công nhận là giáo sư tại Viện Nghiên cứu cao cấp ở Princetonvà trở thành giáo sư danh dự từ tháng 1/2007 của viện này.

Ông đã xây dựng Lý thuyết giải tích của chuỗi Eisenstein đối với các nhóm reductive có hạng lớn hơn một. Điều này cho phép mô tả một cách tổng quát phổ liên tục của các thương số học và chứng tỏ rằng tất cả các dạng tự đẳng cấu đều xuất hiện dưới các dạng (cusp) (nhọn) và thặng dư của các chuỗi Eisenstein sinh ra từ các dạng (cusp) của các nhóm con bé hơn.

Áp dụng đầu tiên của kết quả này là ông chứng minh được giả thuyết của André Weil về số Tamagawa đối với lớp lớn của các nhóm Chevalley đơn liên bất kỳ xác định trên trường các số hữu tỉ. Trước đó, người ta chỉ biết điều này trong một vài trường hợp đơn lẻ và đối với một số nhóm cổ điển và có thể chứng minh bằng quy nạp.

Áp dụng thứ hai công trình của ông về chuỗi Eisenstein là: ông có thể chứng minh sự thác triển phân hình đối với một lớp lớn các L-hàm nảy sinh trong lý thuyết các dạng tự đẳng cấu mà trước đó chưa ai biết. Các L-hàm xuất hiện trong các thành phần hằng số của chuỗi Eisenstein và tính phân hình cũng như phương trình hàm yếu là hệ quả của các phương trình hàm đối với chuỗi Eisenstein.

Vào mùa đông 1966, 1967, công trình này dẫn tới các giả thuyết lập nên chương trình Langlands. Nói một cách đại thể, các giả thuyết này nhằm mở rất rộng các ví dụ đã biết trước đây của luật thuận nghịch (reciprocity), bao gồm:

(a) Lý thuyết trường lớp cổ điển, trong đó các đặc trưng của các nhóm Galois Abel địa phương và số học được đồng nhất với các nhóm nhân tính địa phương và nhóm thương idele (idele quotient group), tương ứng.

(b) Các kết quả trước đây của Eichler và Shimura, trong đó các hàm zeta Hasse-Weil của thương số học của nửa mặt phẳng trên được đồng nhất với các L-hàm có mặt trong lý thuyết Hecke về các dạng tự đẳng cấu chỉnh hình.

Các giả thuyết này lần đầu tiên được đặt ra dưới dạng tương đối đầy đủ trong lá thư nổi tiếng gửi cho Weil tháng 1/1967. Trong lá thư này Langlands đưa ra khái niệm L-nhóm và cùng với nó khái niệm hàm tử (functoriality).

Hàm tử, L-nhóm, nhập đề chặt chẽ của các nhóm adele (hay Abel ? )và áp dụng của lý thuyết biểu diễn về nhóm reductive trên trường địa phương đã làm thay đổi hoàn toàn phương pháp nghiên cứu về các dạng tự đẳng cấu đã tiến hành trước đó. Việc Langlands đưa ra khái niệm này đã bẻ những bài toán lớn và một số những bài toán tương tác mở rộng thành những bài toán nhỏ hơn và dễ giải quyết hơn. Đặc biệt, những khái niệm này đã quy lý thuyết biểu diễn vô số chiều của các nhóm reductive thành một lĩnh vực chính của hoạt động toán học.

Hàm tử là giả thuyết nói rằng các dạng tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau có mối liên hệ thông qua các L-nhóm của chúng. Một ví dụ là trong lá thư gửi Weil, Langlands đề ra khả năng giải quyết giả thuyết nổi tiếng của Emil Artin khi xét dáng điệu của các L-hàm Artin và hy vọng giải quyết được một phần nhờ thay đổi cơ sở. Khi áp dụng cho Giả thuyết Artin ta có: hàm tử liên kết với mỗi biễu diễn N-chiều của một nhóm Galois với một biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm adelic ứng với GL(N). Trong lý thuyết của các đa tạp Shimura, nó liên kết các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau với các biểu diễn Galois l-adic cụ thể.

Hervé Jacquet và Langlands đã viết một cuốn sách về   trình bày lý thuyết các dạng tự đẳng cấu đối với nhóm tuyến tính tổng quát GL(2), thiết lập tương ứng Jacquet-Langlands và chứng tỏ rằng đối với GL(2) hàm tử có khả năng giải thích rất chính xác việc các dạng tự đẳng cấu gắn kết như thế nào với các đại số quaternion. Sách này đã áp dụng công thức vết adelic đối với GL(2) và các đại số quaternion thực hiện việc đó. Sau đó, James Arthur, một sinh viên của Langlands đã phát triển thành công công thức vết cho các nhóm có hạng cao hơn. Đó là công cụ chính để nghiên cứu hàm tử một cách tổng quát. Đặc biệt, nó đã được áp dụng để chứng minh rằng các hàm zeta Hasse-Weil zeta của một số đa tạp Shimura cụ thể nằm trong số các L-hàm cảm sinh từ các dạng tự đẳng cấu.

Người ta cho rằng giả thuyết về hàm tử còn lâu mới được chứng minh. Một trường hợp riêng (giả thuyết Artin, do Langlands và Tunnell công bố) là điểm xuất phát để Andrew Wiles tấn công vào Giả thuyết Taniyama-

Shimura và Định lý cuối cùng của Fermat. Langlands đã nhận được các giải thưởng sau:

1996 Giải thưởng Wolf cùng với Andrew Wiles.

2005 Giải thưởng Steel của Hội Toán học Mỹ.

1980 Giải thưởng Jeffery-Williams.

2006 Giải thưởng Nemmers về Toán.

2007 Giải thưởng Shaw, các khoa học về Toán (cùng với Richard Taylor) nhờ công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu.

Phần bổ sung và góp ý của GS Ngô Bảo Châu:

Vì không phải là chuyên gia cùng chuyên môn với GS. Ngô Bảo Châu, nên viết xong phần cuối này (dựa vào các tài liệu của Google), tôi đã gửi toàn văn bài Bắt Rồng cho GS. Ngô Bảo Châu. Dưới đây là góp ý chính của GS. Châu

1) Dạng tự đẳng cấu là khái niệm của Poincaré: hàm số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compact cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động bên trái của một nhóm con số học   của G. Sau đó Gelfand chuyển hướng nhìn từ dạng tự đẳng cấu thành biểu diễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và nghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke...

Trong trường hợp SL(2), (một nửa) số dạng tự đẳng cấu là dạng modula. Trong trường hợp dạng modula, giá trị riêng của toán tử Hecke có tính chất số học, liên quan đến số điểm của một đường cong ellliptic modulo p. Giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil nói là mọi đường cong elliptic xác định bởi phương trình có hệ số hữu tỉ đều có hàm số L là hàm số L của một dạng module.

Định lý lớn của Langlands là định lý phân rã phổ: mô tả phổ liên tục (chuỗi Eiseinstein) dựa theo phổ rời rạc của nhóm bé hơn. Đúng như chú (tác giả) viết, nó có ngay ứng dụng lên giả thuyết của Weil về số Tamagawa, mở rộng một công thức của Siegel.

Phát hiện lớn của Langlands là quy tắc hàm tử. Quy tắc hàm tử không mô tả một phổ cụ thể nào nhưng mô tả chính xác trong trường hợp nào ta có quan hệ giữa hai phổ khác nhau và quan hệ đó như thế nào. Quy tắc hàm tử tạo nên rất nhiều ràng buộc lên phổ. Trong bức thư gửi cho Weil, Langlands giải thích tại sao nguyên tắc hàm tử kéo theo giả thuyết Artin về tính chỉnh hình của hàm số L của Artin. Nó cũng kéo theo cả giả thuyết Selberg về giá trị riêng đầu tiên của Laplacian.

Một bộ phận khác của "triết lý" của Langlands là luật thuận nghịch. Luật này mô tả phổ tự đẳng cấu bằng biểu diễn Galois. Nó chứa luật thuận nghịch của Gauss, Eiseinstein,... và cả giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil. Chỉ có điều để phát biểu luật thuận nghịch cũng cần giả thuyết khác. Nó có ảnh hưởng rất lớn đến số học, nhưng có lẽ phải chứng minh được quy tắc hàm tử rồi mới hiểu được luật thuận nghịch. Đối với trường hàm số, luật thuận nghịch đã được chứng minh bởi Drinfeld cho nhóm GL(2) và Lafforgue cho nhóm GL(n).

2) Lý thuyết nội soi nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu có cùng hàm số L, hay là cùng ứng với một biểu diễn Galois theo luật thuận nghịch. Để mô tả nó, Langlands dùng công thức vết, so sánh hai công thức vết khác nhau. Vì thế nên cần một số đẳng thức giữa các tích phân quỹ đạo gọi là Bổ đề cơ bản.

3) Ứng dụng của Bổ đề cơ bản

a) Endoscopy như ở trên.

b) Arthur : trường hợp đặc biệt của quy tắc hàm tử: đi từ nhóm cổ điển lên nhóm GL(n).

c) Kottwitz : đa tạp Shimura, nhiều trường hợp đặc biệt của luật thuận nghịch.

d) Công thức vết ổn định: công cụ chính để tiếp tục nghiên cứu quy tắc hàm tử.