Thách đố về giả thuyết số nguyên tố sinh đôi

  Số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố́ liền nhau có dạng (n, n+2), bắt đầu từ (3,5), sau đó là (5,7), (11,13), v.v. Số nguyên tố sinh đôi cực hiếm, nhưng cứ sau vài năm người ta lại tìm thấy một cặp số sinh đôi lớn hơn. Từ thời Hy Lạp cổ đại Ơclit (Euclide) đã tin rằng có vô số các số nguyên tố sinh đôi. Tuy nhiên, sau nhiều thế kỷ vẫn chưa có ai chứng minh được điều này, và cho tới nay người ta vẫn coi đây là một điều bí hiểm. 

Ngày nay người ta gọi điều này là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Cái khó ở đây là không có công thức mô tả số nguyên tố. Để tìm các số nguyên tố trong một bảng số thì người ta thường loại bỏ dần các hợp số của các số nguyên tố trước đó. Phương pháp này được gọi là sàng Ơ-ra-tô-xten (Erathostenes) theo tên một nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Tuy nhiên phương pháp này chỉ hiệu quả khi tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hàng chục triệu.

Năm 1849, nhà toán học Pháp de Polignac đưa ra giả thuyết tổng quát hơn là với mọi số chẵn k ≥ 2 tồn tại vô hạn các cặp số nguyên tố m, n sao cho m – n = k. Nhưng giả thuyết này cũng chưa được giải quyết cho bất kỳ một số k nào. Thậm chí một giả thuyết yếu hơn là tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố m, n sao cho m – n ≤ k ⁱ, cũng bị nhiều nhà khoa học cho rằng chưa thể giải quyết bằng các phương pháp nghiên cứu hiện có. Nhà số học Goldston cho rằng “đây là một trong những vấn đề mà ta không chắc loài người có thể giải được”.

Nhưng vào ngày 17/4/2013, tòa soạn tạp chí Annals of Mathematics nhận được bản thảo của một nhà toán học vô danh là Yitang Zhang khẳng định đã giải quyết được giả thuyết yếu trên cho k = 70 triệu. Tuy k = 70 triệu còn xa với mục tiêu k = 2, nhưng đây có thể coi là bước đi đột phá về giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Khoảng cách giữa 2 và 70 triệu tuy lớn nhưng vẫn không thấm thoát gì so với khoảng cách giữa 70 triệu và vô hạn! 

Cái sàng của Zhang

Công trình của Zhang đã được thẩm định và được công bố vào tháng 3 năm 2014, có xuất xứ từ một bài báo của Goldston, Pintz và Yildirim (GPY) công bố năm 2005. Bài báo này chứng minh rằng luôn tồn tại các cặp nguyên tố liền nhau mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn rất nhiều so với độ lớn của chúng. Để có được kết quả này GPY đã đưa ra một phương pháp để lọc các cặp nguyên tố liền nhau giống như cái sàng Ơ-ra-tô-xten.  Ngoài ra, họ còn dùng một tham số gọi là mức phân bố số nguyên tố. Người ta biết rằng tham số này lớn hơn hoặc bằng ½ và điều này đủ để chứng minh kết quả của GPY. Họ cũng nhận xét rằng nếu tham số này lớn hơn ½ thì dùng cái sàng của họ sẽ chứng minh được tồn tại vô hạn cặp số nguyên tố liền nhau bị chặn bởi một số k nào đó. Trong bài báo của mình, GPY viết rằng kết quả của họ “chỉ cách bề dày một sợi tóc đến kết quả đó”. 

Zhang từng nghiên cứu lý thuyết số trong luận án cao học nên ông để ý đến bài báo của GPI. “Câu văn này lập tức gây ấn tượng với tôi”, ông hồi tưởng lại. Sau đó ông bắt đầu tìm cách mở rộng kết quả của GPY. Trong ba năm sau đó, ông không tiến thêm được một bước nào. “Tôi quá mỏi mệt”, ông nói. Hè năm 2012, ông quyết định nghỉ một chút và đi thăm một người bạn ở Colorado mà không mang bất kỳ tài liệu toán học nào theo mình. Tuy nhiên ông vẫn bị ám ảnh bởi giả thuyết chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố. Trong một lúc mơ màng ngoài vườn của bạn, ông chợt tìm ra ý tưởng cho lời giải. “Tôi lập tức tin nó đúng”. Để giải quyết giả thuyết ông thấy không cần thiết phải lọc tất cả các số mà chỉ cần lọc các số có thừa số nguyên tố không lớn lắm. Như vậy là cái sàng của ông tuy không tốt bằng cái sàng của GPI nhưng lại có độ linh hoạt đủ để giải quyết vấn đề. Theo ông, “có rất nhiều cơ may trong sự nghiệp của bạn nhưng quan trọng là bạn phải luôn luôn suy nghĩ”. 

Kết quả của Zhang lập tức dẫn đến câu hỏi tại sao tồn tại vô số cặp số nguyên tố liền nhau có khoảng cách nhỏ hơn 70 triệu mà không bị chặn bởi một số nhỏ hơn. Thực ra, Zhang dùng chặn 70 triệu chỉ để làm cho chứng minh đơn giản hơn. Đến cuối tháng 5/2013, các nhà toán học đã cải thiện chặn trên của Zhang xuống còn 60 triệu. Tháng 6/2013 nhà toán học Terence Tao (giải thưởng Fields năm 2006) lập một đề án trực tuyến Polymath để mọi người có thể hợp tác nghiên cứu qua mạng để tìm các chặn trên nhỏ hơn nữa. Trong vài tuần sau đó, tình hình cải thiện theo một tốc độ chóng mặt, “cứ khoảng nửa tiếng lại có một chặn trên tốt hơn”, Tao hồi tưởng lại. Đến cuối tháng 7/2013, người ta đã đưa con số 70 triệu trong chứng minh của Zhang xuống còn 4680. Đề án Polymath này hiện đang được tập trung vào việc viết một bài báo tập thể về kết quả này. Bản thảo hiện nay đã dài hơn 150 trang, dự kiến sẽ công bố trong tạp chí “Algebra and Number Theory”.

Phương pháp của Maynard và cuộc chạy đua trực tuyến

Câu chuyện vẫn chưa dừng lại ở đây vì đến ngày 19/11/2013, có một nhà toán học trẻ tên là James Maynard đưa ra chặn trên mới là 600 trên ArXiv với một chứng minh hoàn toàn độc lập với chứng minh của Zhang. Đặc biệt hơn, phương pháp của Maynard còn cho phép nghiên cứu không chỉ các cặp số nguyên tố mà còn cả các bộ số nguyên tố liền nhau. Maynard vừa mới bảo vệ luận án tiến sĩ về sàng số nguyên tố và hiện đang làm việc sau tiến sĩ tại Đại học Montreal. 

Công trình của Maynard, theo một nghĩa nào đó, cũng khởi thủy từ bài báo của GPY. Trước đó, hai tác giả Goldston va Yildirim đã từng công bố một phương pháp lọc các cặp số nguyên tố liền nhau. Ngay sau đấy người ta phát hiện ra phương pháp này có lỗi. Sau khi GPY thay đổi phương pháp lọc để tránh lỗi trên thì mọi người đổ xô vào nghiên cứu bài báo mới mà quên hẳn mất phương pháp lọc cũ. Cách đây hơn một năm, Maynard quyết định xem lại bài báo của Goldston và Yildirim. Anh phát hiện thấy có thể sửa lỗi để có một phương pháp lọc hiệu quả hơn là cách GPY đã làm. Ý tưởng của Maynard rất đơn giản. Người hướng dẫn sau tiến sĩ của Maynard là Granville nhận xét rằng “Đó là một điều mà những người như tôi sẽ gõ vào trán và tự nhủ ta có thể chứng minh cái này bảy năm trước đây”. 

Ngay sau công bố của Maynard, một đề án trực tuyến Polymath khác được lập ra nhằm sử dụng phương pháp của Maynard để đưa ra các chặn trên nhỏ hơn nữa. Khi bài báo này được viết, người ta đã giảm chặn trên xuống còn 252. Các đề án Polymath thu hút được rất nhiều chuyên gia từ các hướng nghiên cứu khác nhau tham gia. Họ có thể giải quyết các bước khác nhau trong kỹ thuật chứng minh của Zhang và Maynar để tìm các chặn trên nhỏ hơn. Công việc của họ hoàn toàn phụ thuộc lẫn nhau. Nếu một người tìm ra kết quả hay ý tưởng mới thì người khác cũng phải thay đổi tương ứng các dữ kiện nghiên cứu của mình. Chuyên gia tính toán Andrew Sutherland của Viện công nghệ Massachusetts nói rằng “Luật chơi thay đổi hằng ngày”, “trong lúc tôi đang ngủ thì các đồng nghiệp ở châu Âu đã tìm thấy một chặn trên mới. Nhiều khi, tôi thức đến 2 giờ sáng để thông báo một ý tưởng mới”. 

Trong khi Zhang và Maynard là dạng những nhà toán học tài năng nghiên cứu một mình vài năm cho đến khi đạt được một kết quả làm chấn động mọi người thì các đề án Polymath khác hẳn. Chúng cần một sự hợp tác toàn diện từ nhiều người nhằm giải quyết những vấn đề toán học phức tạp và thường có kết quả rất nhanh. Tuy nhiên, không phải vấn đề toán học nào cũng phù hợp với cách nghiên cứu tập thể. Theo Tao thì “cần có những người sẵn sàng làm việc đơn độc và vượt qua những cách suy nghĩ thông thường”. 

Thách đố vẫn tiếp tục

Chúng ta có thể hy vọng gì từ các kỹ thuật chứng minh của Zhang và Maynard cho việc giải quyết giả thuyết số nguyên tố sinh đôi? Phương pháp của Zhang chỉ có thể dẫn đến chặn trên 16 nếu giải quyết được hết các vướng mắc còn tồn tại. Còn phương pháp của Maynard cũng chỉ có thể giảm chặn trên xuống đến 12 là cùng. Tao cho biết nếu dùng thêm một giả thuyết của Elliot-Halberstam thì có thể đưa chặn trên xuống còn 6. Theo Maynard thì khó có thể cải tiến các phương pháp quen biết để nhận được chặn trên cuối cùng là 2. Anh nhận xét “Tôi cảm thấy chúng ta cần phải có đột phá về cách tiếp cận thì mới giải được giả thuyết số nguyên tố sinh đôi”. Như vậy là chưa có gì đảm bảo trong một tương lai gần người ta sẽ giải quyết được giả thuyết này. Đây vẫn tiếp tục là một thách thức đối với trí tuệ  con người.

Tài liệu tham khảo

Kenneth Chang, Solving a Riddle of Primes, http://www.nytimes.com/2013/05/21/ science/solving-a-riddle-of-primes.html?_r=0

Erica Klareich, Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing, http://www.wired.com/wiredscience/2013/11/prime/all/

Erica Klareich, Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap, https://www.simonsfoundation.org/quanta/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

Leslie Katz, Yitang Zhang: A prime-number proof and a world of persistence, http://news.cnet.com/8301-17938_105-57618696-1/yitang-zhang-a-prime-number-proof-and-a-world-of-persistence/

Maggie McKee, First proof that infinitely many prime numbers come in pairs, http://www.nature.com/news/first-proof-that-infinitely-many-prime-numbers-come-in-pairs-1.12989

Tzuong-Tsieng Moh, “Zhang, Yitang’s life at Purdue, http://www.math.purdue.edu /~ttm/ZhangYt.pdf

i Giả thuyết yếu này được gọi là chặn trên cho khoảng cách các số nguyên tố, tuy nó không tương đương với giả thuyết của de Polignac, nhưng trong trường hợp k = 2 thì nó chính là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi