Logic toán và cơ sở toán học
Các qui luật cơ bản của logíc hình thức đã được phát triển từ thời Aristote (384 - 322 trước Công Nguyên) và hệ tiên đề đầu tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclid cũng vào khoảng 300 năm trước Công Nguyên. Sau thời kì rực rỡ đó của nền văn minh cổ Hy Lạp, phải trải qua một giai đoạn ngưng trệ hàng nghìn năm, mãi cho đến thế kỉ 16,17 các nganh khoa học đặc biệt là Toán Học mới tìm lại được sự phát triển tiếp tục.
Giai đoạn mới khởi đầu từ những phát minh của Newton, Leibnitz về phép tính vi phân và giải tích toán học đã đưa toán học từ phạm vi "bất biến, hữu hạn" sang địa hạt của "vận động, vô hạn, liên tục". Nhưng trong suốt mấy thế kỉ phát triển, bên cạnh những thành tựu to lớn, Toán Học vẫn chứa trong mình những "lỗ hổng" về cơ sở lý luận - cơ sở logíchình thức cho các khái niệm cơ bản như số thực, đại lượng vô cùng bé, giới hạn, biến thiên liên tục...
Cho đến cuối thế kỉ 19 bước sang đầu thế kỉ 20 lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời đã đưa đến cho Toán Học niềm hy vọng giải quyết được cuộc "khủng hoảng" về cơ sở lý luận đó. Cái cốt lõi của lý thuyết tập hợp Cantor là sự hợp thức hóa phép trừu tượng về "vô hạn thực tại", xem rằng trong Toán Học có thể hình dung mọi tập hợp bất kì dưới dạng hoàn chỉnh, trong đó các phần tử tồn tại đồng thời, độc lập và bình đẳng với tư duy. Và cùng với việc thừa nhận quan niệm "thực tại" đó về các tập hợp vô hạn, người ta cũng đồng thời tuyệt đối hóa tính hợp lý của các qui luật logíc hình thức: các qui luật của logíc hình thức dù có thể đã được hình thành cho các suy luận trên cái hữu hạn thì này có thể dùng được cho cả các suy luận trên các tập hữu hạn hoặc vô hạn, không cần phân biệt.
Lý thuyết tập hợp quả thực đã cung cấp một cơ cở tuyệt vời, không những cho việc giải quyết cuộc khủng hoảng của cơ sở giải tích toán học, mà rộng hơn còn cung cấp một nền tảng thống nhất cho việc xây dựng và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học khác. Tuy nhiên, oái ăm thay, ngay trong những năm đầu của thế kỉ 20 người ta liên tiếp phát hiện trong lí thuyết "ngây thơ" về tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý Russell về "tập hợp của tất cả các tập hợp không là phần tử của chính mình", nghich lý do chính Cantor phất hiện về "tập hợp của tất cả các tập hợp", nghịch lý Bulari-Forti về "ordinal của tập sắp thứ tự hoàn toàn của tất cả các ordinal"... Việc phát hiện ra các nghịch lý như vật đã làm lung lay lòng tin của một số nhà toán học vào giá trị "nền tảng" của lý thuyết tập hợp. và khó khăn mới đó đã dẫn tới những đề nghị khác nhau về cách khắc phục. Cách khắc phục được nhiều người tán thành nhất là hạn chế ngoại diên của khái niệm "tập hợp" bằng cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp một hệ tiên đề, tức tiên đề hóa lý thuyết tập hợp trong đó không thể có những tập hợp quá "tự do" như trong các nghịch lý kể trên. Cách này đã chứng tỏ là rất hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề về tập hợp đã ra đời và đáp ứng các yêu cầu hạn chế đó.
Cùng với tiên đề hóa lý thuyết tập hợp cũng như tiên đề hóa các lý thuyết toán học, người ta cũng nghĩ nhiều đến việc tiên đề hóa các lý thuyết cơ sở về logíc - việc tiên đề hóa triệt để như vậy dẫn tới việc hình thức hóa, và ta được các hệ hình thức hóa của logíc (mệnh đề và tân từ) rồi trên cơ sở đó, các hệ hình thức hóa của Toán Học. Khi toàn bộ một lý thuyết Toán Học (cùng với cơ sở logíc của nó) đã được hình thức hóa, thì việc làm toán có thể đóng khung trong phạm vi lí thuyết hình thức đó và làm toán chỉ còn là việc thực hiện những thao tác trí tuệ trên các dòng ký hiệu hình thức theo các luật đã được hình thức hóa trong lý thuyết đó (?!). Tuy nhiên có những vấn đề về các lý thuyết Toán Học được hình thức đó thì lại không thể được xét bên trong chúng, chẳng hạn các vấn đề về tính phi mâu thuẫn, về tính đầy đủ của lý thuyết, về tính độc lập của các tiên đề v.v... . Những vấn đề như vậy có ý nghĩa quan trọng về các lý thuyết toán học được hình thức và được xét trong 1 siêu toán học (metamathematics) tức là một siêu lý thuyết nằm ngoài các lý thuyết hình thức nói trên.
Vào các thập niên đầu của thế kỉ 20, để cứu vãn nền tảng vững chắc cho Toán Học, Hilbert đã đề xuất một chương trình có nội dung tóm lược như sau: Hilbert xem rằng lý thuyết tập hợp (sau khi đã loại bỏ các yếu tố đưa đến nghịch lý) với quan niệm trừu tượng hóa vô hạn thực tại và sự phổ quát hóa của các qui luật logíc cổ điển(bao gồm qui luật bài trung (nói rằng 1 điều gì đó chỉ có thể là đúng hoặc chỉ có thể là sai.ct) và phủ định kép (nếu 1 ta có ((điều gì đó là sai) là sai) thì điều đó phải đúng.ct)) là cơ sở tin cậy của Toán Học. Để bảo vệ Toán Học với cơ sở đó, ta hình thức hóa Toán Học thành một hệ hình thức rồi sau đó chứng minh tính phi mẫu thuẫn của hệ toán học hình thức đó trong một siêu toán, và không ai có thể công kích được. Hilbert đề nghị siêu toán đó sẽ là một thứ Toán học không sử dụng khái niệm "vô hạn thực tại", chỉ hạn chế trong các kiến trúc dùng một quan niệm hạn chế về vô hạn là "vô hạn tiềm năng", và cùng với nó cũng không sử dụng phổ biến các qui luật logíc như luật bài trung. Một siêu toán như vậy được gọi là siêu toán hữu hạn luận (finitism).
Vào những năm 30 của thế kỉ, nhà toán học người Áo Godel đã xây dựng được cho "số học hình thức", một thứ siêu toán thỏa mãn các yêu cầu của hữu hạn luận, đó là số học của các hàm và quan hệ đệ quy. Nhưng rồi bất ngờ thay, chính với các phương tiện của siêu toán đó, Godel đã chứng minh được các định lý vĩ đại: nếu số học hình thức phi mâu thuẫn thì nó không đầy đủ, và bản thân tính phi mâu thuẫn của số học hình thức không thể tìm thấy trong số học hình thức đó (!!). Nói cách khác, mưu đồ hình thức hóa Toán Học rồi tìm cách chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó bên trong hệ hình thức đó hay với sự trợ giúp của một siêu toán hữu hạn luận là thất bại (!!). Các định lý của Godel có tác động to lớn đối với nhận thức luận khoa học nói chung.
Một vấn đề khác cũng rất được quan tâm trong cơ sở Toán Học là vai trò của một vài giả thuyết hay tiên đề của lý thuyết tập hợp, cụ thể là giả thuyết liên tục và tiên đề chọn. Trong số 23 bài toán mà Hilbert đặt ra cho thế kỉ 20, bài toán về giả thuyết liên tục là bài toán số 1. Đầu những năm 40. Godel xây dựng mô hình cho lý thuyết tập hợp gồm các tập "kiến thiết được" và chứng minh trong mô hình được giả thuyết liên tục và tiên đề chọn đều đúng. Và đến giữa những năm 60, Cohen bằng khái niệm "cưỡng bức" (forcing) độc đáo của mình đã xây dựng được các mô hình của lý thuyết tập hợp trong đó giả thuyết liên tục không đúng và tiên đề chọn đúng, hoặc cả hai cùng không đúng. Như vậy cả tiên đề chọn và giả thuyết liên tục đều là vừa phi mâu thuẫn, vừa là độc lập đối với lý thuyết tiên đề về tập hợp. Những kết quả này, về nguyên tắc có thể cho ta khả năng xây dựng được những lý thuyết tập hợp trong đó tiên đề chọn (và giả thuyết liên tục) là đúng hoặc không đúng, tương tự như ta đã có hình học Euclidvà hình học phi Euclid .
Nguồn: www.viet-studies.org
