Chân học và Hư học

Trong cùng một nền học vấn, có thể có phần chân học, có phần hư học. Chẳng hạn, trong Nho giáo có chân nho và hủ nho. Trong giáo dục toán học cũng có “chân toán” và “hủ toán”.

Một trong những thí dụ tiêu biểu của chân toán là việc biến Cái Không trừu tượng của triết học cổ Ấn Độ thành Sunya, tức số 0 phổ dụng ngày nay.

BÀI 1: CÁI KHÔNG CỦA NGƯỜI ẤN CỔ

Sunya, hay Sunyata, là một từ cổ Ấn Độ, có nghĩa là Zero, tức số 0. Trong dãy chữ số thập phân, 0 và 1 đứng cạnh nhau, nhưng từ 1 đến 0 lại là cả một hành trình vĩ đại của tư duy.

Thật vậy, sau số 1 phải đợi một thời gian dài đằng đẵng hơn 15 thiên niên kỷ số 0 mới có thể ra đời tại Ấn Độ! “Cơn đau đẻ vật vã” này là kết quả của sự “hôn phối” giữa bà mẹ toán học với ông bố triết học – những tư tưởng thâm thuý sâu xa, trừu tượng và cao siêu của Cái Không (The Nothingness) mà trong quá khứ dường như chỉ xứ Ấn Độ mới có. Cái Không ấy đã được Denis Guedj, giáo sư lịch sử khoa học tại Đại học Paris, diễn đạt tóm tắt trong cuốn “ Số – Ngôn ngữ phổ quát ” [1]bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: “ Số 0 là cái chẳng có gì nhưng lại làm nên mọi thứ ”.

Nhưng tưởng cần phải hỏi tại sao một Sunya vốn cao siêu trừu tượng như thế mà ngày nay lại trở nên đơn giản, thông dụng và quen thuộc với mọi người như thế ? Công lao phổ cập cái cao siêu trừu tượng này thuộc về ai, nếu không thuộc về các nhà giáo dục thông thái hàng ngàn năm qua đã chú tâm truyền bá ý nghĩa cụ thể và ứng dụng của nó, thay vì thổi phồng ý nghĩa triết học cao siêu để làm khổ học trò?

Vì thế, lịch sử của Sunya rất đáng được chú ý nghiên cứu học hỏi, để từ đó rút ra những bài học bổ ích nhằm suy tôn tinh thần hiện thực và cụ thể trong giảng dạy toán học ở trường phổ thông.

1* Hành trình của Sunya:

Ba con số tạo nên nền tảng của hệ thống số là số 0, số 1, và số vô cùng ( ∞ ). Việc tìm hiểu sự hình thành một hệ thống số phải bắt đầu từ 1, vì 1 là khởi thuỷ của mọi con số .

Dấu hiệu cổ xưa nhất về các con số trong những nền văn minh đầu tiên của loài người mà hiện nay khoa khảo cổ học đã nắm được trong tay là những vạch đếm được khắc trên sừng hươu thuộc kỷ Paleolithic, thuộc niên đại khoảng 15000 năm trước C.N. Di tích này có 2 ý nghĩa: Một, nó cho biết tuổi của toán học; Hai, nó khẳng định toán học ra đời từ nhu cầu đếm . Việc đếm hiển nhiên phải bắt đầu từ 1. Vì thế, 1 từng được Pythagoras coi là biểu tượng của Thượng Đế – cái bắt đầu của mọi sự. Về mặt triết học, 1 có nghĩa là tồn tại, hiện hữu . 1 còn có ý nghĩa là đơn vị, nhiều đơn vị gộp lại thành số nhiều. Nếu số nhiều này là hữu hạn thì nó được gọi là arithmos . Việc nghiên cứu arithmos được gọi là arithmetics , tức số học. Điều đáng kinh ngạc là trải qua một thời gian dài dằng dặc mười mấy ngàn năm kể từ xã hội nguyên thuỷ thuộc kỷ Paleolithic đến các thời kỳ văn hoá cổ đại rực rỡ nhất như văn hoá Hy-La, văn hoá Hebrew (Do-thái), văn hoá cổ Trung Hoa, mặc dù số học đã phát triển tới trình độ rất cao, rất phức tạp nhưng vẫn chưa thể nào sản sinh ra số 0 ! Thật vậy, trong các chữ số của người Trung Hoa gồm nhất (1), nhị (2), tam (3), tứ (4), ngũ (5), lục (6), thất (7), bát (8), cửu (9), thập (10), bách (100), thiên (1000), hoặc của người La Mã gồm I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000 hoặc 1000000), hoặc của người Do Thái gồm aleph (1), beth (2), gimel (3),… hoặc của người Hy Lạp gồm alpha (α = 1), beta (β = 2), gamma (γ = 3),… tất cả đều vắng bóng số 0!

Xem thế đủ biết việc sáng tạo ra số 0 khó khăn đến nhường nào, và không có gì để ngạc nhiên khi các nhà nghiên cứu lịch sử khoa học đều nhất trí đánh giá rằng việc phát minh ra số 0 là một trong những cột mốc vĩ đại nhất trong lịch sử nhận thức .

Thật vậy, để sáng tạo ra số 0, toán học chưa đủ, mà cần đến một tư tưởng hoàn toàn mới lạ. Tư tưởng ấy đã được nhen nhóm và chín muồi tại Ấn Độ cổ – cái nôi của Phật giáo. Cần biết rằng suốt trong giai đoạn các nền văn hoá lớn quanh Địa Trung Hải như Hy Lạp, La Mã, Do Thái, và nền văn hoá cổ Trung Hoa thời Tần, Hán, Tấn, lần lượt thay nhau đạt tới độ cực thịnh thì Phật giáo đã trưởng thành từ vài trăm tới ngót một ngàn tuổi – một thời gian đủ để các tư tưởng tinh vi của nó thấm đượm vào đầu óc các bậc hiền triết, tu sĩ, học giả, nghệ sĩ, những người đã đóng góp lớn lao vào việc tạo dựng nên nền văn hoá trác việt của Ấn Độ cổ đại. Một trong những tư tưởng trác việt đó là Cái Không,một khái niệm kỳ lạ đồng nhất cái không có gì với toàn thể vũ trụ mà trên thế giới từ cổ chí kim duy nhất chỉ có Phật giáo mới nói đến.

Ngay từ những năm khoảng từ 300 đến 200 trước C.N. người Ấn Độ đã có một hệ thống á thập phân (gần thập phân) gồm chín ký hiệu cho các số từ 1 đến 9, và các danh từ dành cho các “bội của mười”. Cụ thể “mười” được gọi là “dasan”, “một trăm” được gọi là “sata”, v.v… Chẳng hạn để thể hiện số 135 như ngày nay ta viết, người Ấn Độ cổ viết là “1 sata, 3 dasan, 5”, hoặc để thể hiện 105, họ viết “1 sata,5”, v.v… Phải đợi mãi đến khoảng năm 600 sau C.N., người Hindu mới tìm ra cách xoá bỏ các danh từ trong khi viết số nhờ vào việc phát minh ra ký hiệu của số 0 . Với ký hiệu này, “1 sata, 5” sẽ được viết là 105 như ngày nay. Vào khoảng những năm 700, người Ả-rập đã học số học của người Hin-đu. Vào khoảng những năm 800, một nhà toán học Ba Tư đã trình bày số học với hệ thập phân của người Ấn Độ trong một cuốn sách bằng tiếng Ả-rập. Khoảng 300 năm sau cuốn sách này được dịch ra tiếng La-tinh. Từ đó hệ thống số Ấn-Ả-rập xâm nhập vào Châu Âu, rồi từ Châu Âu được truyền bá ra khắp thế giới như ngày nay. Thực ra người Babylon cổ đại là người đầu tiên tìm ra số 0. Người Maya ở Châu Mỹ cũng đã tìm thấy số 0 vào thế kỷ 1, tức là trước người Ấn Độ khoảng 500 năm. Nhưng số 0 của người Babylon và người Maya không có đầy đủ ý nghĩa và chức năng như số 0 của người Ấn Độ mà ngày nay ta dùng. Phải đợi đến số 0 của người Ấn Độ thì hệ thống số mới thực sự đạt tới một bước ngoặt lịch sử trong khoa học và trong nhận thức nói chung bởi công dụng vô cùng tiện lợi và ý nghĩa triết học sâu xa của nó.

2* Ý nghĩa triết học của Sunya:

Theo Guedj, số 0 khác hẳn với các số khác về mặt khái niệm ở chỗ nó không gắn liền với đồ vật hoặc đối tượng cụ thể nào cả. Việc đưa số 0 vào trong hệ thống số là sự trừu xuất các số ra khỏi đối tượng cụ thể . Thực ra số 0 ra đời ở Ấn Độ sớm hơn một chút: nó đã xuất hiện trên các bản thảo ở thế kỷ 5 sau C.N. Ký hiệu đầu tiên của người Ấn Độ đối với số 0 là một vòng tròn nhỏ gọi là Sunya , theo tiếng Sanskrit (tiếng Ấn cổ) nghĩa là “cái trống rỗng” hoặc “cái trống không” (emptyness). Dịch ra tiếng Ả Rập là sifr, ra tiếng La-tinh là zephirum rồi thành zephiro, và cuối cùng thành zero như ngày nay. Guedj viết tiếp: “Với sự sáng tạo ra số 0, khái niệm không có gì trở thành khái niệm tồn tại . Đây là sự gặp gỡ giữa hai hình thức của cái không, đó là sự trống rỗng về mặt không gian và sự phi tồn tại về mặt triết học, và điều này đã tạo ra một biến đổi căn bản về trạng thái ý nghĩa các con số. Khái niệm chẳng có gì đã biến thành khái niệm có cái không… Sự chuyển tiếp từ trạng thái không có đến trạng thái có zero, từ một số zero như một vị trí bị bỏ trống đến một số zero như một số lượng có thật, điều này đã tạo ra một bước chuyển biến căn bản trong lịch sử nhận thức”.

Đó là “lần đầu tiên, khái niệm trừu tượng của Cái Không đã được trình bầy bằng một ký hiệu cụ thể sờ thấy”, như Simon Singh đã mô tả trong cuốn “Định lý cuối cùng của Fermat”.

Tính chất “cụ thể sờ thấy” ấy cũng được Georges Ifrah trình bầy rõ trong cuốn “ Từ 1 đến 0: Lịch sử phổ quát của số ” như sau: “Số 0 của người Ấn Độ dùng để diễn tả sự trống không hoặc sự không hiện diện, nhưng đồng thời diễn tả không gian, vòm trời, bàu trời các thiên thể, bầu khí quyển, cũng như để diễn tả cái chẳng có gì, một số lượng không thể đếm được, một phần tử không thể diễn tả cụ thể được”.

Như vậy việc sáng tạo ra số 0 thực chất là lấy hình để diễn tả cái siêu hình (lấy vòng tròn Sunya diễn tả cái không có gì, cái trống rỗng). Nói cách khác, cái siêu hình đã được cụ thể hoá bởi hình (cái không có gì được cụ thể hoá bằng vòm trời, vũ trụ), ngược lại hình chỉ là biểu lộ của cái không có gì mà thôi. Đây chính là tư tưởng “sắc sắc không không” của Phật giáo, trong đó Cái Không vừa là cái trống rỗng vừa là toàn bộ vũ trụ. Tư tưởng này rất khó hiểu đối với ngay cả người lớn, nếu không nghiên cứu học hỏi các lý thuyết Phật giáo một cách nghiêm túc, chứ đừng nói đến trẻ em.

3* Bài học về giáo dục từ Sunya:

Sẽ không có nền văn minh hiện đại, không có computer, … nếu không có Sunya.

Bài học lớn nhất từ Sunya là bài học về giáo dục: Những nhà giáo dục chân chính là những người biết biến cái phức tạp thành đơn giản, biến cái cao siêu trừu tượng thành cái phổ dụng, mang lại lợi ích thiết thực cho mọi người. Đó chính là nền chân học, hoàn toàn trái ngược với nền giáo dục hủ nho hoặc nền giáo dục sính chuộng hư văn mà “Chủ nghĩa Frege mới” (neo-Fregeanism) là một thí dụ điển hình. Chủ nghĩa này là gì? Xin đón đọc bài kỳ sau sẽ rõ.

Phần 2: "Chủ nghĩa Frege mới"

Nếu lịch sử về Sunya là thí dụ điển hình của một nền chân học mang lại kiến thức bổ ích cho con người thì ngược lại, " chủ nghĩa Frege mới" (neo-Fregeanism) là thí dụ điển hình của một nền hư học chuộng hình thức, sính chữ nghĩa sáo rỗng, xa rời cuộc sống, không mang lại kiến thức bổ ích và làm rối trí học trò.

Thông thường cái gì đã bị chứng minh là SAI thì sẽ mất hết uy tín. Nhưng lịch sử giáo dục thế kỷ 20 chứng kiến một "ngoại lệ kỳ quái": tư tưởng hình thức của Gottlob Frege đã bị chứng minh là SAI, vậy mà nó vẫn được một số nhà toán học và giáo dục ra sức bắt chước, tạo nên cái gọi là Chủ nghĩa Frege mới. Đỉnh cao của chủ nghĩa này là trào lưu "Toán học mới" (THM) ở Tây phương những năm 1960-1970 mà "di căn" của nó đến nay vẫn chưa hoàn toàn chấm dứt.

1* Từ Frege đến THM:

Đầu thế kỷ 20, giống như nhiều nhà toán học "mơ mộng" khác, Frege khao khát tìm ra một thứ Số học "sạch sẽ", "không vương chút bụi trần", ngõ hầu vươn tới một hệ thống Số học chính xác tuyệt đối. Ước mơ ấy giúp ông viết nên tác phẩm đồ sộ "Cơ sở Số học" với nền tảng là những định nghĩa về số: Số 2 là cái đặc trưng cho tất cả các "cặp đôi" (pair) – tập hợp chứa 2 phần tử; số 3 là cái đặc trưng cho tất cả các "bộ ba" (triple) – tập hợp chứa 3 phần tử; v.v.

Ngay trong định nghĩa này, Frege đã rơi vào một cái vòng luẩn quẩn: ông muốn "giải thoát" số ra khỏi ý nghĩa số lượng, nhưng định nghĩa của ông vẫn dựa vào số lượng phần tử trong tập hợp – Frege muốn bay lên trời nhưng chân vẫn bị trói chặt trên mặt đất!

Bất chấp sai lầm "ngây thơ" đó, "vẻ đẹp bác học" của hệ thống ký hiệu và suy diễn logic hình thức của Frege vẫn làm cho thiên hạ bị choáng ngợp. Họ coi phương pháp của Frege như mẫu mực của toán học hiện đại. Ngay cả Bertrand Russell – người chỉ ra chỗ sai trong nền tảng lý thuyết của Frege [2]– vẫn tin rằng con đường Frege đang đi là đúng, do đó chỉ cần điều chỉnh một chút là sẽ tới "thiên đường toán học"!

Phải chờ mãi đến năm 1931, khi Kurt Godel công bố "Định lý bất toàn" (Theorem of Incompleteness) thì những người khôn ngoan nhất như John von Newman mới đau xót nhận ra rằng không bao giờ có cái "thiên đường" ấy. Nhưng dường như đa số vẫn muốn "tẩy chay" Định lý Godel, hoặc không hiểu hết ý nghĩa của định lý đó, do đó tư tưởng hình thức của Frege vẫn tiếp tục sống, mặc dù chính Frege đã từ bỏ nó. Bằng chứng là đã ra đời nhóm Bourbaki với những công trình vĩ đại nhằm "xét lại" (viết lại) toàn bộ toán học trên cái nền của lý thuyết tập hợp, tức là làm sống lại tư tưởng hình thức mà David Hilbert, Gottlob Frege, Bertrand Russell, … đã xới lên từ đầu thế kỷ 20.

Trớ trêu thay, Bourbaki ra đời ở Pháp – quê hương của Henri Poincaré, nhà toán học vĩ đại từng quyết liệt chống đối chủ nghĩa logic hình thức! Nếu Poincaré sống thêm vài chục năm nữa, chắc hẳn ông sẽ ủng hộ Định lý Godel để chống lại sự bành trướng của chủ nghĩa hình thức ở Pháp, không để cho THM cùng những thứ hư văn của nó "đổ bộ" vào trường phổ thông rồi gây nên những thảm hoạ giáo dục như ta đã thấy.

2* Thảm hoạ của THM:

Một "cựu nạn nhân" của THM là nhà vật lý nổi tiếngPhạm Xuân Yêm, giám đốc nghiên cứu tại CNRS (Trung tâm quốc gia về nghiên cứu khoa học của Pháp), giáo sư Đại học Pierre và Marie Curie tại Paris. Trong một thư gửi cho tôi, GS Yêm viết:

" Vụ Bourbaki ở Pháp những năm 1960 tôi là nạn nhân chứng kiến. Khi ấy, 1958, tôi học năm cuối cử nhân toán với Gustave Choquet, Claude Chevalley, Henri Cartan, toàn những đỉnh cao của Pháp. Nhưng các vị ấy mang vào lớp cử nhân này lần đầu như một thử nghiệm trường phái Bourbaki, cả giờ ông Choquet chỉ nói và không viết một dòng trên bảng! Chính vì thế mà tôi bỏ toán ra làm vật lý lý thuyết. Đã thế về sau họ còn mang théorie des ensembles (lý thuyết tập hợp) vào trung học làm khủng hoảng môn toán trung học một thời gian, may mà họ sửa chữa lại sau này".

Theo tài liệu do GS Yêm cung cấp, từ 1967 đến 1972, dưới sự lãnh đạo của Uỷ ban cải cách giáo dục toán học, đứng đầu là Lichnerowicz, cái gọi là "toán hiện đại" đã được đưa vào trường phổ thông. Khẩu hiệu của THM là "Đả đảo Euclide!" (À bas Euclide!)[3], có nghĩa là vứt bỏ hết mọi cái cũ truyền thống để thay thế bằng "toán hiện đại": dạy toán học hình thức dựa trên lý thuyết tiên đề (các cấu trúc đại số, các không gian vector, lý thuyết tập hợp…). Từ năm 1971 đến 1977, ngôn ngữ tập hợp và cấu trúc đại số được dạy ngay từ trung học và giới thiệu ngay từ tiểu học.

Kết quả là " việc nhấn mạnh đến các môn học khó hiểu như Lý thuyết tập hợp tỏ ra phản tác dụng … Chương trình quá chú trọng tới toán học ở trình độ cao này dẫn tới sự trả giá là mất kiến thức cơ bản", đó là nhận định của Bách khoa toàn thư Americana [4].

Nhưng tại sao một cơ quan quan trọng như Uỷ ban Lichnerowicz, với rất nhiều giáo sư, tiến sĩ, lại dấn thân vào một cuộc "phiêu lưu" vô ích đến như vậy?

Câu trả lời thiết tưởng đã quá rõ:

Vào giữa thế kỷ 20, ảnh hưởng của chủ nghĩa hình thức vẫn còn quá lớn. Lúc ấy cái bóng của Bourbaki che lấp cái bóng của Godel. Nếu thấm nhuần Định lý Godel, có thể Uỷ ban Lichnerowicz sẽ không phiêu lưu, vì họ sẽ ý thức được rằng nhận thức có giới hạn. Nhưng vào thời điểm đó, số người biết Godel, hiểu Godel và đánh giá đúng tầm vóc của Định lý Godel dường như còn quá ít, chưa đủ tạo nên một lực hãm đủ mạnh đối với khát vọng vô chừng vô độ của chủ nghĩa hình thức.

Hơn thế nữa, Uỷ ban cải cách giáo dục phổ thông của Lichnerowicz lại chẳng hiểu gì về mục tiêu của giáo dục phổ thông.

3* Mục tiêu giáo dục phổ thông:

Giáo dục phổ thông, bản thân tên gọi của nó, đã cho thấy kiến thức ở trường phổ thông phải là kiến thức dành cho mọi người. Vậy câu hỏi đặt ra là cái gì cần thiết cho mọi người? Cái gì chỉ cần cho một số ít người?

Hơn ai hết, các nhà giáo dục cần phải trả lời rõ ràng và dứt khoát những câu hỏi đó trước khi đặt bút viết sách giáo khoa!

Câu chuyện sau đây có thể có ích trong việc tìm câu trả lời:

Một tạp chí điện ảnh ở Mỹ phỏng vấn Cameron Diaz, nữ diễn viên xinh đẹp trong cuốn phim nổi tiếng The Mask. Cuối buổi phỏng vấn, phóng viên đặt câu hỏi:

- Cô còn muốn nói gì với độc giả nữa không?

- Tôi muốn biết "thực ra công thức E = mc ²có ý nghĩa gì?", Diaz trả lời.

Thế là cả hai cùng phá lên cười. Cuộc phỏng vấn kết thúc [5].

Nghe chuyện này, có người cho rằng Einstein quá vĩ đại, vì một người như Diaz cũng phải bận tâm tới công thức của ông. Nhưng nếu để ý Diaz hỏi mà không cần nghe trả lời thì có thể nghĩ Diaz chỉ mượn công thức của Einstein để gợi ý với chúng ta một điều gì đó. Mỗi người có thể hiểu ý của cô theo cách riêng. Riêng tôi, tôi nghĩ cô muốn nói với giới "celebrities" (người nổi tiếng) rằng Cái Đẹp chân chính không cần phải trang điểm bằng những thứ loè loẹt phù phiếm (E = mc ²là một thứ phù phiếm đối với giới nghệ sĩ điện ảnh).

Chủ nghĩa Frege mới – thói chuộng logic và tập hợp ở trường phổ thông – cũng chỉ là một thứ trang điểm loè loẹt mà thôi.

4* Thay lời kết:

Ngay từ đầu thế kỷ 20, Henri Poincaré đã tuyên chiến với Chủ nghĩa hình thức. Ông nói: " Nhà toán học thuần tuý dường như lãng quên sự tồn tại của thế giới bên ngoài, giống như một hoạ sĩ biết cách kết hợp hài hoà màu sắc và hình dạng nhưng lại bị tước đi vật mẫu – điều đã làm cho sức sáng tạo của anh ta bị khô héo đi một cách nhanh chóng".

Albert Einstein cũng ghét loại toán học đó đến mức phải tuyên bố: " Tôi không tin vào toán học".

Tại sao những người thông minh lại ghét thứ toán học ấy đến thế?

Đơn giản vì nó sáo rỗng, không đếm xỉa đến thực tiễn!

Tư tưởng toán học đề cao logic đến mức không đếm xỉa đến thực tiễn đã manh nha từ lâu. Đặc biệt, sự ra đời của Hình học phi-Euclid đã khuyến khích ý nghĩ cho rằng bằng con đường suy diễn logic thuần tuý, toán học có thể khám phá ra những chân lý tuyệt đối [6]. Tư tưởng này lên tới tột đỉnh vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 để từ đó hình thành nên một chủ nghĩa, một đường lối, một chương trình vĩ đại nghiên cứu toán học: đó là chủ nghĩa hình thức, mà linh hồn của nó nằm trong tuyên ngôn của Bertrand Russell: " Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết là người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng"[7].

Chẳng hạn, 2 + 3 = 5 là đúng, không cần biết 2, 3, 5 đang nói về cái gì. Khi đó phép cộng không phải là "thêm vào", mà là một "ánh xạ"… Đó chính là những gì nền giáo dục đang nhồi vào đầu trẻ em, xuất phát từ tư tưởng " xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học"[8], như một giáo sư có ảnh hưởng lớn trong ngành giáo dục hiện nay từng tuyên bố.

Có nghĩa là với những nhà giáo dục này, có một thứ toán học "thiêng liêng" đứng trên và đứng ngoài xã hội, bởi vì xã hội không thể không biết những con số của mình đang nói về cái gì, về USD hay VND, về m hay inch, về nhiệt độ C hay nhiệt độ K, về newton hay coulomb, v.v.

Được biết, có lần một tên lửa vũ trụ của NASA đã nổ tung trên quỹ đạo chỉ vì một lỗi rất "tầm thường": các chương trình điều khiển do các bộ phận khác nhau viết ra đã không sử dụng một hệ đơn vị đo lường thống nhất [9]!

Không biết các nhân viên của NASA có cho rằng " xa rời thực tế mới là điểm mạnh của toán học" hay không? Nhưng chắc chắn quan điểm đó sẽ làm hỏng nền giáo dục toán học ở trường phổ thông!

[1]Numbers - The Universal Language, Denis Guedj, Thames and Hudson Ltd, London 1998.

[2]Xem "Lời sám hối của một nhà toán học hình thức" của Phạm Việt Hưng trên Khoa học & Tổ quốc Tháng 05/2009, hoặc trên trang mạnghttp://vietsciences.free.fr/ vàhttp://viethungpham.wordpress.com/

[3]Khẩu hiệu này xuất phát từ cửa miệng của Jean Dieudonné, một trong những thành viên sáng lập của nhóm Bourbaki. Mặc dù không tham gia vào giáo dục phổ thông, nhưng sau này Dieudonné thừa nhận việc Bourbaki-hoá trường phổ thông là một sai lầm tệ hại.

[4]Encyclopedia Americana, 1999, mục từ "New Mathematics".

[5]Xem "A Biography of the World’s Most Famous Equation E = mc ²", David Bodanis, MacMillan, London, 2000.

[6]Hình học phi-Euclid ra đời từ giữa thế kỷ 19, nhưng mãi đến năm 1916 mới tìm thấy bằng chứng thực tiễn là không gian vật lý trong Thuyết tương đối tổng quát của Einstein.

[7]Xem "Pour la Science", số chuyên đề về Henri Poincaré, trang 21.

[8]Xem bài "Môn Toán ở trường phổ thông" của Lê Hải Châu, tạp chí Tia Sáng Tháng 04/2002.

[9]Thông tin do một chuyên gia lập trình thuộc Công ty ResMed ở Sydney, Australia, cung cấp.