Điều bí mật của những chuỗi số 9

Đối với các số hữu tỉ (số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn), người ta luôn thấy một “yếu tố” nhắc đi nhắc lại vô hạn. Chẳng hạn, với 1/3 (0,3333…) “yếu tố” vô hạn đó là “3”; với 22/7 (3,142857142857…) “yếu tố” vô hạn đó là “142857”; với 2/11 (0,181818…) “yếu tố” đó là “18”; với ¾ (0,75000…), yếu tố đó là “0”.

Năm 1802, Henry Goodwyn có ý tưởng lạ lùng là tách các yếu tố vô hạn làm hai phần có số chữ số bằng nhau, rồi cộng hai phần đó lại.

Chẳng hạn với 22/7, hai số có từ yếu tố vô hạn 142857 là 142 và 857 và tổng của chúng là 999; với 2/11 ta có 1 và 9 với tổng là 9.

Không phải chỉ có hai thí dụ làm xuất hiện bất ngờ chuỗi số “9”. Nhưng hiện tượng này không phải lúc nào cũng xảy ra. Do đó câu hỏi “ Trong những trường hợp nào xuất hiện những chuỗi số 9?” được đặt ra!

Trong một công trình công bố năm 1836 tại một nhà xuất bản ở Nantes, E. Midy đã cung cấp một kết quả khái quát đầu tiên, được gọi là “Định lý Midy”. Định lý này cho những điều hiện đủ về tử số p và mẫu số qcủa một phân số để cho phép cộng hai nửa của yếu tố vô hạn của p/qlà có một chuỗi số 9. Thí dụ, nếu plà một số nguyên tố ( pchỉ chia hết cho chính nó và và cho 1) thì tính chất nói trên luôn đúng, tất nhiên với điều kiện là yếu tố vô hạn gồm có một số chẵn các chữ số.

Định lý Midy, sau khi được công bố lần đầu tiên, đã bị lãng quên. Nội dung của định lí được khám phá và được chứng minh lại nhiều lần, trong một số tài liệu xuất bản. Gần đây Joseph Lewittesở trường Đại học New York , đã tìm lại được định lý đó ở tài liệu xuất bản gốc. Không ngờ có nhiều điều ngạc nhiên vì các ý tưởng mà Midy nói trong định lí của mình có rất nhiều hệ quả, còn manh nha nhiều sự khái quát hoá mà một số tác giả sau đó đã tìm ra được. Tuy nhiên trong công trình của mình, Lewittes đã tìm ra một số kết quả hoàn toàn mới và khá tổng quát ( http://fr.arxiv.org/abs/math. NT/0605182 , 2006), trong đó phải kể đến như các điều kiện đủ để tách yếu tố vô hạn thành ba phần bằng nhau rồi cộng lại, cũng tạo ra những chuỗi số 9. Thí dụ với 1/7, có yếu tố vô hạn là “142857”, cho 14 + 28 + 57 = 99. Hay tổng quát hơn nữa cho việc tách yếu tố vô hạn thành nphần bằng nhau. Đó là các kết quả rất sâu sắc về mặt bản chất số học.