Toán học hiện đại nhìn qua các Giải thưởng Fields

Có hai nguyên tắc cơ bản khi xét trao giải thưởng Fields: một là giải được một bài toán lớn, hai là đưa ra một lý thuyết mới có nhiều ứng dụng trong toán học. Hai nguyên tắc này đều quan trọng trong sự phát triển của toán học. Rõ ràng, chúng không hoàn toàn độc lập. Thường thì lời giải một bài toán cụ thể phải dựa trên sự sáng tạo ra một lý thuyết mới (nếu dùng công cụ sẵn có thì chắc là đã có người giải được!). Ngược lại việc sáng tạo ra một lý thuyết mới có ý nghĩa lớn sẽ giúp giải quyết một số bài toán cổ điển tồn đọng của toán học.

Ngoài giải thưởng Fields đầu tiên được trao năm 1936, các giải thưởng đều liên quan đến toán học của nửa sau thế kỷ 20, và một số năm đầu tiên của thế kỷ 21.

Kể từ năm 1936 đến nay, những thành tựu đạt được trong các công trình của những nhà toán học được giải thưởng Fields đã phản ánh xu hướng của sự phát triển toán học 70 năm qua. Cũng như nhiều ngành khoa học khác, toán học phát triển một cách “liên tục, nhưng không khả vi”, vì bao giờ cũng có những cột mốc mà qua đó có sự  thay đổi đột biến. Nếu nhìn vào đồ thị của sự phát triển toán học, ta thấy có sự chuyển biến rõ ràng các mối quan tâm qua mỗi thời kì chiến tranh. Để lý giải điều này, có thể nhắc đến câu nói của Nietsche, những tư tưởng lớn xuất hiện trên thế giới với những bước đi khẽ khàng, vì chúng phải chống lại những cản trở to lớn, và đòi hỏi một quá trình thử nghiệm lâu dài, và “câu đùa” của  Max Planck “chân lý khoa học mới không toàn thắng nhờ chinh phục những người chống lại nó, mà thường là do những người chống lại nó chết dần, và thế hệ mới lớn lên cùng với nó!” Những cuộc chiến tranh thế giới tàn khốc đã cướp đi sinh mạng của cả một thế hệ những nhà khoa học, và điều đó vô tình thúc đẩy quá trình khách quan của sự thừa nhận những quan điểm mới.

Quá trình nhất thể hóa trong toán học

Nếu nhìn vào các giải thưởng năm 1936 và 1950, ta chưa thấy sự bùng nổ của những mối quan tâm đến tôpô đại số và hình học đại số trong những năm đầu sau Đại chiến thế giới thứ II. Giải thưởng năm 1950 được trao cho Laurent Schwartz về lý thuyết phân bố, và Alte Selberg vì những thành tựu xuất sắc trong lý thuyết số. Nhưng năm 1954, Serre và Kodaira nhận được giải thưởng vì những thành tựu đạt được sau chiến tranh. Rất khó phân biệt lĩnh vực nghiên cứu của hai nhà toán học được giải thưởng, và mặc dù có những điều chung nhau trong phương pháp, họ cho lời giải của những bài toán đặc biệt khó khăn và hoàn toàn khác nhau. Có thể nói rằng, đây chính là điểm khởi đầu cho sự “nhất thể hoá” trong toán học, quá trình xóa nhòa ranh giới giữa các ngành của toán học thể hiện rõ ràng qua các giải thưởng Fields từ 1954 đến ngày nay.

Trong những lần tiếp theo, ta thấy có sự cân bằng giữa hai nguyên tắc của việc trao giải. Chẳng hạn, năm 1958, Klaus Roth được tôn vinh nhờ chứng minh một ước lượng tinh tế,  làm mạnh định lý của Thue-Siegel về xấp xỉ các số đại số bởi các số hữu tỷ. Giải thưởng thứ hai giành cho René Thom, người xây dựng nên một phương pháp mạnh mẽ trong tôpô là lý thuyết cobordism.

Năm 1962, các nhà toán học được trao giải là Lars Hormander và John Milnor. Lars Hormander đã phát triển lý thuyết tổng quát các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, bao gồm lý thuyết các toán tử hypoelliptic. Công trình của Milnor thực sự gây bất ngờ và có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển tương lai của tôpô. Rất khó tìm thấy một cái gì tương tự trong quá khứ,  như việc xây dựng vô cùng đẹp đẽ của Milnor về các cấu trúc vi phân khác nhau trên mặt cầu 7 chiều. 

Trong Đại hội 1966, bốn giải thưởng đã được trao. Paul Cohen với chứng minh rằng nếu hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là phi mâu thuẫn, thì việc phủ nhận tiên đề chọn, thậm chí phủ nhận cả giả thiết continuum (liên tục) vẫn giữ cho lý thuyết là phi mâu thuẫn. Cho đến nay, đây là giải thưởng Fields duy nhất giành cho lĩnh vực lôgic toán học.  Alexandre Grothendieck, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất và kì lạ nhất của thời đại chúng ta, được trao giải thưởng nhờ việc cách mạng hoá hình học đại số. Quan điểm lược đồ của ông đã đưa hình học đại số lên một mức độ trừu tượng mới, vượt ra ngoài tầm của những nhà toán học với một nền giáo dục truyền thống trước đó. Các công trình tiếp theo của Grothendieck cũng như của nhiều người khác chỉ ra rằng, nhiều bài toán cổ điển của hình học đại số và lý thuyết số tồn tại trong toán học, mặc cho nhiều thế hệ các nhà toán học đã tốn bao công sức để nghiên cứu chúng, cuối cùng đã có thể giải được nhờ các khái niệm phức tạp do Grothendieck đưa ra.

Nhận giải thưởng cùng một lần với Cohen và Grothendieck, S. Smale được tôn vinh chủ yếu nhờ hai thành tựu: lời giải của giả thuyết Poincaré chiều cao, và phát triển lý thuyết hệ động lực. Các kết quả của ông dẫn đến việc sáng tạo ra lý thuyết hệ động lực chiều cao, một lĩnh vực mới của toán học vẫn đang phát triển mạnh mẽ cho đến ngày hôm nay. Cùng năm với Cohen, Grothendieck và Smale, M. Atiyah được thừa nhận vì những công trình trong lĩnh vực tôpô đại số, đặc biệt là việc chứng minh Định lý chỉ số, nổi tiếng với tên gọi Định lý Atiyah-Singer. Đây là một định lý sâu sắc xét trên nhiều quan điểm khác nhau. Nó là sự mở rộng một chuỗi dài các định lý nổi tiếng từ định lý Euler đối với đa diện đến định lý Riemann-Roch và định lý Poincaré-Hopf về kì dị của các trường vectơ. Trong những năm gần đây, mối quan hệ giữa định lý này với các vấn đề quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử, chẳng hạn vấn đề rối lượng tử trở nên rõ ràng hơn.

Các công trình của Atyiah, Singer, Hirzebruch và nhiều người khác đã làm nên một lĩnh vực toán học mới, trong đó các tư tưởng của tôpô đại số, hình học, giải tích phức tích hợp với nhau, xoá nhoà hoàn toàn sự tách biệt truyền thống của các lĩnh vực đó. Atyiah có lần nói : “Các nhà tôpô thường nghiên cứu các toán tử đơn giản trên những không gian phức tạp, trong khi các nhà giải tích nghiên cứu các toán tử phức tạp trên những không gian đơn giản“. Đã đến lúc cần, và có thể, nghiên cứu các toán tử phức tạp trên những không gian phức tạp.

Các kết quả nêu trên không chỉ đưa toán học lên một mức độ trừu tượng mới, mà còn chứng tỏ tính hiệu quả của những phương pháp trừu tượng đó trong việc giải quyết những bài toán cổ điển nổi tiếng còn tồn đọng.

Toán học và vật lý

Có vẻ như kể từ sau năm 1970, những thành tựu được trao giải thưởng Fields ngày càng gần hơn với các vấn đề của vật lý. Điều đó thể hiện rõ rệt nhất trong những công trình của S. Novikov, S. T. Yau, A. Connes, S. Donaldson,  E. Witten, V. Drinfeld, M. Kontsevich. Đặc biệt Witten là nhà vật lý đầu tiên nhận được giải thưởng Fields. Gần đây nhất, các kết quả của tất cả những người được giải thưởng Fields năm 2006 và 2010  đều liên quan chặt chẽ với vật lý. Mối liên hệ giữa toán học và vật lý không chỉ còn là mối liên hệ truyền thống, ở đó vật lý sử dụng toán học, và toán học xây dựng những công cụ mới, lý thuyết mới để giải thích các hiện tượng vật lý. Ngày nay đã xuất hiện những kết quả toán học sâu sắc dựa trên những tư tưởng vật lý. Ví dụ điển hình cho xu hướng này là các công trình của Donaldson. Sau công trình của Milnor về các cấu trúc vi phân trên mặt cầu 7 chiều, công trình của Donaldson xuất hiện năm 1983 đã có ảnh hưởng đáng kinh ngạc. Donaldson chứng minh sự tồn tại các cấu trúc vi phân khác nhau trên các đa tạp 4 chiều đơn liên. Ngay sau công trình của Donaldson, Gompf và Taubes chỉ ra sự tồn tại một số vô hạn cấu trúc vi phân trên không gian thực 4 chiều. Kết quả này chứng tỏ không gian rất “quen thuộc” này của vật lý (3 chiều không gian và một chiều thời gian) ẩn chứa nhiều điều chưa được biết đến, và có hệ quả rất quan trọng trong lý thuyết hấp dẫn, vì ở đó người ta cần lấy tích phân theo mọi mêtric có thể, và do đó, theo mọi cấu trúc vi phân. Chứng minh của Donaldson và những người khác dựa trên những phát hiện trước đó trong lý thuyết trường, chủ yếu  là trong lý thuyết “gauge” các tương tác mạnh và yếu. Sự tương tác đó trong thế giới các hạt cơ bản được mô tả bởi các phương trình phi tuyến có bản chất tôpô sâu sắc: các phương trình Yang-Mills.  Cùng với những kết quả trên, các công trình của Drinfeld về nhóm lượng tử và lời giải của Kontsevich cho giả thuyết Witten về lực hấp dẫn là những minh chứng cho một thời kì mới trong mối quan hệ giữa toán học và vật lý.

Giải thưởng Fields 2010

Giải thưởng Fields 2010 được trao cho Ngô Bảo Châu, Lindenstrauss, Smirnov và Villani. Ngô Bảo Châu được tặng giải thưởng Fields vì đó chứng minh Bổ đề cơ bản trong lý thuyết các dạng tự đẳng cấu. Trong những năm 1960, 1970 Robert Langlands đã phát biểu những nguyên lý hợp nhất cơ bản và giả thuyết khác nhau liên hệ các dạng tự đẳng cấu trên những nhóm khác nhau, các biểu diễn Galois và L-hàm. Các mệnh đề đó dẫn đến cái mà ngày nay được gọi là chương trình Langlands. Năm 2004 Laumon và Ngô Bảo Châu đã chứng minh được Bổ đề cơ bản cho một lớp nhóm đặc biệt, và gần đây Ngô Bảo Châu đã chứng minh được Bổ đề trong trường hợp tổng quát. Chứng minh tài tình của Ngô Bảo Châu dựa trên việc đưa ra những đối tượng hình học và những kỹ thuật mới. Thành tựu của ông nằm ở giao điểm của hình học đại số, lý thuyết nhóm và các dạng tự đẳng cấu, dẫn đến nhiều tiến bộ kỳ lạ trong chương trình Langlands cũng như những lĩnh vực liên quan đến nó.

Nhiều thành tựu được trao giải thưởng Fields ngày càng gần hơn với các vấn đề của vật lý

Elon Lindenstrauss được trao giải thưởng Fields vì những kết quả về tính cứng độ đo trong lý thuyết ergodic và ứng dụng trong lý thuyết số. Với việc phát triển những tư tưởng mạnh mẽ của lý thuyết ergodic và số học, Lindenstrauss đã giải được giả thuyết về tính ergodic duy nhất lượng tử số học của  Rudnick và Sarnak trong lý thuyết các dạng modular. Ông và các cộng sự đã tìm ra nhiều ứng dụng bất ngờ khác của các kỹ thuật ergodic lý thuyết đó trong những vấn đề số học cổ điển. Công trình của ông đặc biệt sâu sắc và ảnh hưởng của nó vượt ra ngoài lý thuyết ergodic.

Stanilav Smirnov được trao giải thưởng Fields 2010 nhờ thành tựu trong vật lý thống kê. Từ những năm 1990, người ta đã tiên đoán rằng giới hạn của nhiều mô hình hai chiều khác nhau trong vật lý thống kê có tính đối xứng bất ngờ, cụ thể đó là bất biến bảo giác. Smirnov là người đầu tiên chứng minh một cách chặt chẽ cho những trường hợp hai chiều quan trọng, và mô hình Ising phẳng. Đó là một chứng minh rất đẹp đẽ dựa trên những lập luận tổ hợp cực kỳ tài tình. Công trình của Smirnov là cơ sở vững chắc cho nhiều phương pháp quan trọng trong vật lý thống kê.

Villani được tặng giải thưởng Fieds 2010 nhờ chứng minh sự tắt dần và hội tụ đến cân bằng Landau cho  phương trình Boltzmann. Một trong những lý thuyết cơ bản và thoạt đầu rất mâu thuẫn của vật lý cổ điển là lý thuyết Boltzmann về động lực học chất khí. Thay cho việc theo dõi chuyển động của  hàng tỷ nguyên tử riêng rẽ, ta nghiên cứu biến thiên của xác suất để một hạt cơ bản đạt đến một vị trí nào đó và với một vận tốc nào đó. Những phân phối xác suất cân bằng đó được biết đến từ hơn trăm năm trước, nhưng để hiểu được sự hội tụ đến cân bằng có xuất hiện hay không và nhanh hay chậm thì rất khó khăn. Villani (cùng với Desvilletes) nhận được kết quả đầu tiên về tốc độ hội tụ với điều kiện ban đầu không gần với cân bằng. Về sau, trong một công trình viết chung với học trò của mình, Mohout, Villani đã chứng minh một cách chặt chẽ cái mà ta gọi là sự tắt dần phi tuyến Landau đối với phương trình động lực học của vật lý plasma, chấm dứt một quá trình tranh cãi lâu dài.  

Cũng như các khoa học khác, toán học phát triển một cách “liên tục, nhưng không khả vi”

Toán học là một thể thống nhất

Qua phân tích trên đây, ta có thể thấy sự thống nhất giữa nhiều ngành toán học tưởng chừng rất xa nhau. Đặc biệt điều đó thể hiện rõ nhất trong những công trình được trao giải thưởng Fields của những Đại hội gần đây. Đó là sự thống nhất của giải tích, hình học và số học trong các công trình của Lafforgue, Voevodsky (Fields 2002), Ngô Bảo Châu (Filds, 2010);  mối liên quan giữa tổ hợp, số học, giải tích, xác suất và vật lý trong công trình của Okounkov, Werner (Fields, 2006), Lindenstrauss, Smirnov (Fiedls 2010),  là việc Perelman sử dụng những công cụ giải tích mạnh mẽ để giải quyết trọn vẹn giả thuyết Poincaré, một trong những bài toán khó nhất của tôpô, đồng thời mở ra nhiều hệ quả trong vật lý.
Các giải thưởng Fields cũng chứng tỏ rằng, trong quá trình phát triển, toán học đôi khi cũng ngoái đầu nhìn lại quá khứ trong một ánh sáng mới. Đó là trường hợp của những người đoạt giải thưởng Fields nhờ giải quyết những vấn đề thuộc các lĩnh vực cổ điển: Jean Bourgain và Tim Gowers giải quyết nhiều vấn đề cổ điển trong lý thuyết không gian Banach; P. L. Lions trong phương trình đạo hàm riêng; Jean-Cristoph Yoccoz, Curtis McMullen trong hệ động lực; Zelmanov với  bài toán Burnside cổ điển.

Toán học là một thể thống nhất. Tuy nhiên, điều đó thường không thấy rõ qua công việc hằng ngày của chúng ta, mà trở nên rất rõ ràng khi ta tìm hiểu các kết quả của những nhà toán học lớn, chẳng hạn khi phân tích thành tựu của các nhà toán học được giải thưởng Fields.