Phát triển thêm lý thuyết số nguyên tố

Nhà toán học trẻ Terence Tao, ở Trường Đại học Los Angeles, người năm ngoái được nhận Huy chương Field với các kết quả nghiên cứu về các số nguyên tố, đã làm cho lý thuyết các số nguyên tố phát triển hơn nữa. Cùng với bạn đồng sự Tamar Ziegler ở trường Đại học Michigan , Terence Tao đã chứng minh rằng dãy số nguyên tố chứa những “cấp số đa thức dài tuỳ ý”.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Với định nghĩa cực kỳ đơn giản đó, người ta xây dựng những vấn đề toán học rất phức tạp.

Từ thời văn minh cổ đại, người ta đã biết các số nguyên tố tạo thành một dãy vô hạn. Những số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Khi các số lớn thì việc xác định các số nguyên tố càng khó khăn hơn. Dường như khi các số càng lớn thì số nguyên tố càng hiếm. Hiện nay các nhà toán học chưa thể mô tả rõ ràng cách thức mà các số nguyên tố được phân bố trong dãy các số tự nhiên.

Năm 2004, cùng với Ben Green, ở trường Đại học Cambrìge, Terence Tao đã chứng minh một trong những kết quả đã mang lại cho ông Huy chương Fields: Tập hợp các số nguyên tố chứa những “cấp số cộng có độ dài tuỳ ý” tức là số hạng lớn tuỳ ý. Ví dụ, dãy 5, 11, 17, 23 là một cấp số có 4 số nguyên tố hơn kém nhau 6 (5 + 6 = 11, 11 + 6 = 17, 17 + 6 = 23). Đây là một cấp số cộng có công sai là 6.

Phải chăng tồn tại những dãy số không phải là cấp số cộng nhưng có thể mô tả quy luật về khoảng cách giữa hai số nguyên tố liên tiếp thuộc dãy?

Định lí mới mở rộng kết quả trước cho những cấp số “đa thức”, tức là những cấp số có khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp không nhất thiết phải là một hằng số, như trong trường hợp các cấp số cộng. Ví dụ, dãy 3, 5, 13, 31 là một cấp số có 4 số nguyên tố, có khoảng cách giữa số hạng thứ n bằng 2n ². Định lí Terence Tao và Tamar Ziegler chỉ rõ rằng có thể đạt được những cấp số có nhiều số hạng hơn nữa (không hạn chế), có khoảng cách của mỗi số hạng với số hạng tiếp sau được xác định bằng một công thức cùng loại, trong đó chỉ dùng đến hàng nvà các luỹ thừa của nó. Sự chứng minh định lí đó dựa trên cùng những ý tưởng đã cho phép Ben Green và Terence Tao giải quyết trường hợp các cấp số cộng. Tập hợp những số nguyên tố được nhận định như là một tập hợp con của tập hợp những số nguyên gọi là “gần như là nguyên tố”. Trên tập hợp đó, người ta xây dựng một hàm đặc biệt của các số nguyên tố. Như vậy các số nguyên tố để lộ ra thêm chút ít về những điều bí mật của chúng.