"Elements" của Euclid - chỗ dựa của những người biên soạn sách giáo khoa hình học ngày nay

Euclid, tác giả của "Elements" ("Các yếu tố cơ bản" hay "Cơ sở"), tác phẩm hình học vĩ đại nhất của mọi thời đại, sinh ở đâu, cuộc đời ông thế nào, không một ai biết rõ, có người lại nhầm ông với Euclid ở Megara, một nhà triết học, học trò của Plato sống trước ông khoảng 100 năm.

Theo ý kiến chung, nhưng không có một căn cứ đáng tin cậy nào, ông sinh vào đầu thế kỷ III trước Công Nguyên. Tên ông lần đầu tiên được nhắc đến một cách rõ ràng trong Lời tựa một tác phẩm của Apollonius (cuối thế kỷ III - đầu thế kỷ IV). Theo "Eudemian Summary" (Tóm lược Eudemus) của Proclus (khoảng 450 sau CN), Euclid đã trở thành nổi tiếng vào khoảng năm 300 trước CN, còn công trình "Elements" được biên soạn vào khoảng năm 320 trước CN.

Người ta thường nói Euclid là thuộc thế hệ trước Archimedes, nhưng cũng có tài liệu nói ông là đương thời với Archimedes hoặc thế hệ ngay trước Archimedes. Euclid đã đến giảng dạy toán học ở Alexandria, một thành phố ở Ai Cập do Alexander đại đế thành lập năm 332 tr CN, lúc bấy giờ dưới sự trị vì của Plolemy I, một vị tướng của Alexander đã trở thành vua Ai Cập sau khi Alexander qua đời (năm 323 tr CN). Alexandria đã được Ptolemy lấy làm thủ đô của Ai Cập và xây dựng thành một trung tâm học thuật lớn, tồn tại trong gần một nghìn năm.

Educlid còn là tác giả của nhiều công trình khác, một số còn giữ được đến ngày nay, một số đã mất một phần hay hoàn toàn. Nếu nói những công trình có tính chất lý thuyết, trước hết ta phải kể "Data" (Các dữ kiện), một tài liệu bổ sung cho "Elements" bao gồm 94 mệnh đề (bài tập), thí dụ như về các tính chất của các đại lượng tỉ lệ, các gia số tỉ lệ, tức là những hàm tuyến tính theo ngôn ngữ của chúng ta ngày nay; những hình đồng dạng, v.v...

Một tác phẩm khác là "De Divisionibus" (Về các phép chia) còn tồn tại dưới dạng một tài liệu tiếng Arập được xuất bản ở Paris năm 1851. Tác phẩm này xét bài toán chia một hình phẳng đã cho bằng đường thẳng thành những phần theo một tỉ lệ đã cho. Một tác phẩm khác đề cập các tiết diện lôgic đã được Archimedes nhắc đến và phần lớn đã được đưa vào quyển đầu tiên trong bốn quyển của Apollonius về tiết diện cônic. Một công trình khác được nói là của Euclid là "Phoenomena" (Các hiện tượng), một khảo luận về hình học của hình cầu, được biên soạn có lẽ nhằm giúp cho việc nghiên cứu về thiên văn học; và "Optics" (Quang học) vẫn còn giữ được trong đó tác giả cố gắng xây dựng các nguyên lý cơ bản của sự phản xạ trên các mặt cầu.

Công trình lớn nhất của Euclid hiển nhiên là "Elements". Gần một trăm năm sau khi ra đời, Archimedes và Apollonius đã đưa "Elements" tới trình độ mà cho tới thế kỷ XVII không một tác phẩm nào vượt qua được (J. F. Scott, A History of Mathematics, 1958, tr. 22). Cho tới thế kỷ XIX, công trình đã được công nhận trong giảng dạy toán học sơ cấp (ouvrage ... qui a fait autorisé jusqu"au siècle dernier dans les mathématiques élémentaires, Histoire générale des sciences, R. Taton chủ biên, Tome I, 2 è édition, 1966, tr. 321).

"Elements" bao gồm 13 Quyển (tức Chương) với tổng cộng 465 mệnh đề. Quyển I bắt đầu bằng những định nghĩa sơ bộ cần thiết, các định đề (postulates) và tiên đề (axioms). Các định đề và tiên đề là những mệnh đề phải được công nhận khi chúng ta đi ngược từ một mệnh đề về những mệnh đề mà từ đó sẽ suy ra mệnh đề ấy và quá trình đi ngược lại này đến một lúc nào đó phải dừng lại. Những mệnh đề là những "khái niệm thông thường" (common notions) được gọi là "tiên đề" - những chân lý tự nó là hiển nhiên.

Lúc đầu, có 5 định đề, 3 định đề đầu tiên là về dựng hình. Định đề thứ tư khẳng định sự bằng nhau của tất cả các góc vuông. Định đề thứ năm từ đó Euclid xây dựng toàn bộ lý thuyết về các đường song song nói rằng: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác sao cho tạo thành hai góc trong ở một bên của đường cắt nhỏ hơn hai góc vuông thì hai đường thẳng này kéo dài ra vô tận sẽ gặp nhau ở phía của đường cắt mà ở đó là hai góc bé hơn hai góc vuông".

Từ các định nghĩa, tiên đề và định đề như vậy, Euclid đã xây dựng một cách chặt chẽ toàn bộ tòa lâu đài kiến thức hình học. Riêng về định đề thứ năm (định đề song song), một số người đã tìm cách chứng minh nó, và hơn 2000 năm sau, đến thế kỷ XIX, người ta mới hiểu được rằng vấn đề là có thể xây dựng những kiểu hình học không buộc phải thừa nhận định đề đó - các hình học phi Euclid.

Quyển I, ngoài những định nghĩa, định đề và tiên đề như đã nói ở trên, dành cho hình học của những đường thẳng và những hình phẳng tạo thành từ các đường thẳng. Quyển II thiết lập một số đồng nhất thức đại số quen thuộc. Quyển III nói về các tính chất của vòng tròn. Quyển IV tiếp tục nói về hình học các vòng tròn, chú trọng các bài toán về một số hình tuyến tính nội và ngoại tiếp một vòng tròn. Quyển V xây dựng lý thuyết các tỉ lệ, chứng minh nó có thể áp dụng cho các đại lượng thông ước cũng như vô ước. Quyển VI áp dụng lý thuyết tổng quát về tỉ lệ cho các hình phẳng. Định lý Thales nói ở đây.

Các Quyển VII, VIII và IX dành cho số học, cụ thể là lý thuyết số, đưa ra các định nghĩa về đơn vị, số chẵn và số lẻ, số nguyên tố và số tổng hợp, số bình phương và số  lập phương, số hoàn hảo. Lấy thí dụ, quyển VIII nói về cách tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số hay nhiều hơn. Quyển VIII - cách nội suy một số trung bình nhân bất kỳ giữa hai số; Quyển IX - định lý cơ bản của số học: một số có thể phân tích thành các thừa số nguyên tố theo một cách và chỉ một cách mà thôi, v.v...

Quyển X đề cập các đại lượng vô tỉ. Quyển XI, XII và XIII dành cho hình học không gian. Để làm thí dụ, Quyển XI nói về các tính chất của các hình hộp, hình nón và hình cầu; quyển XII - phương pháp vét kiệt (method of exhaustion); Quyển XIII - dựng các đa diện đều: tứ diện, lập phương, tám mặt, mười hai mặt và hai mươi mặt nội tiếp trong hình cầu, chỉ ra cạnh của các hình đó theo bán kính của hình cầu; v.v...

Sau Euclid, một số tác giả đã đưa thêm vào "Elements" một số quyển, thí dụ Quyển XIV có 8 mệnh đề của Hypsicles ở thế kỷ II tr CN,  thực ra chỉ là một phụ lục của Quyển XIII; Quyển XV của Damascius và Damascus không có giá trị đáng kể.

"Elements" không chỉ là "Kinh thánh của hình học" mà còn là "Kinh thánh" thứ hai xét về số lần xuất bản. Kể từ lần ấn loát đầu tiên năm 1482, "Elements" đã có hơn một nghìn lần xuất bản, "Trên hai thiên niên kỷ, công trình này đã ngự trị trong mọi giảng dạy về hình học" (H. Eves, Giới thiệu lịch sử toán học, Bản dịch của Trần Tất Thắng, 1993). Hiện nay, các văn bản về hình học phẳng và hình học không gian của các trường trung cao ở Mỹ có chứa đựng nhiều tài liệu tìm thấy trong Quyển I, III, IV, VI, XI và XII (H. Eves, đã dẫn). Nói "Dựa vào Euclid " để biên soạn sách giáo khoa hình học có lẽ chẳng có gì là thiếu căn cứ. Song ngày nay, các nhà biên soạn sách giáo khoa có thể không cần phải dựa trực tiếp vào Euclid mà, đứng trên vai người khổng lồ, dựa vào rất nhiều sách giáo khoa đã có trên thế giới (thực ra chỉ cần chọn mấy quyển thật hay, thí dụ như "Géométrie dans l"espace" của C. Lebossé và C.Hémery được các thầy giáo và học sinh cách đây khoảng 50 năm thường xuyên sử dụng), những quyển sách "đã dựa trên Euclid". Dựa vào các tài liệu hiện có, ở nước ta hiện nay. nếu có soạn lại, thời gian cũng chỉ cần 3 tháng cũng chẳng có gì lạ.

"Elements" là một tác phẩm kỳ diệu về hình học, một mặt vì cấu trúc lôgic chặt chẽ và gọn đẹp của nó, khó ai có thể tìm ra một cấu trúc khác thay thế, mặt khác là vì phương pháp tư tưởng của nó - phương pháp tiên đề hóa. Phương pháp này đã được phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỷ XIX - đầu thế kỷ XX và là một thành phần chủ yếu trong cuộc cách mạng toán học vào lúc chuyển thế kỷ (Đặng Mộng Lân, Lịch sử khoa học, Bài giảng cho Lớp cao học về Quản lý KH & CN, Bộ KH, CN & MT, 1996).

Nguồn: Vật lý ngày nay, số 2 - 2007, tr 25