2 + 2 = ?

“Dính dáng”

Triết học quan tâm đến mọi vấn đề, do đó, cũng “dính dáng” rất nhiều đến toán học. Chỉ có điều, khi hai môn cực khó này mà “dính dáng” với nhau ắt sẽ tạo ra một môn còn… khó hơn nữa: triết học của/về toán học! Nó làm việc gì? Thưa bạn Thuỳ Trang, nó tìm cách làm rõ hoạt động của nhà toán học, bằng cách nêu hai câu hỏi:

– Những đối tượng toán học tồn tại ở đâu? Ở trong đầu óc con người? Là một sản phẩm xã hội? Hoặc chúng “có thực”, vô thời gian và độc lập với việc áp dụng chúng? Nói cách khác, khi một mệnh đề toán học là đúng, cái gì làm cho nó đúng? Đó gọi là câu hỏi bản thể học, liên quan đến bản tính của đối tượng toán học. Câu hỏi phụ: thế giới trừu tượng của toán học quan hệ như thế nào với thế giới vật chất? Tại sao toán học lại “phù hợp với những đối tượng của thực tại một cách tuyệt vời đến thế?” (Albert Einstein).

– Làm sao biện minh được rằng một lý thuyết toán học là đúng? Nguồn gốc của chân lý toán học là gì? Đâu là những điều kiện để có được môn toán học? Bản tính của nhận thức con người giữ vai trò gì trong ấy? Đó gọi là câu hỏi nhận thức luận.

Như thế, ở đây, người ta không cãi nhau về sự đúng sai của những lý thuyết hay công thức toán học mà về việc diễn giải chúng. Và đó cũng chính là “đặc sản” của tư duy triết học: tra hỏi về cơ sở hay nền tảng của một khoa học (ở đây là toán học). Và, như mọi cuộc tranh cãi triết học khác, nó vô cùng phức tạp, đa dạng và… bất tận!

Chúng ở đâu?

Theo thuyết duy thực toán học, những đối tượng toán học (ví dụ: hình tam giác) tồn tại độc lập với đầu óc con người. Như thế, con người không phát minh ra toán học mà chỉ phát hiện nó. Nhưng, bên trong thuyết duy thực cũng có sự khác nhau trong quan niệm về kiểu tồn tại của những đối tượng toán học và cách thức để ta nhận biết về chúng. Phái Platon (Paul Erdös và Kurt Gödel) cho rằng cấu trúc nào tồn tại một cách toán học thì cũng tồn tại một cách vật lý ở trong vũ trụ riêng của chúng, và ta cần một trực quan toán học đặc biệt để trực tiếp nhận biết chúng. Phái duy nghiệm (John Stuart Mill, và các đại biểu đương đại như Quine và Putmann) cho rằng phải phát hiện bằng con đường thường nghiệm giống như trong bất kỳ ngành khoa học nào khác. Tuy nhiên, theo con đường kinh nghiệm trực tiếp như chủ trương của J. S. Mill, các kết quả có thể sai lầm như trong mọi khoa học khác, và, do đó, là không tất yếu. Vì thế, theo Quine, nhận thức ấy phải là gián tiếp, thông qua sự chặt chẽ của toàn bộ lý thuyết khoa học, khiến toán học là hoàn toàn chắc chắn và ta không thể nào xét lại hay bác bỏ các kết quả ấy được.

Ngược với niềm tin rằng toán học là thuần tuý hay khách quan nói trên, các nhà duy thực xã hội (Imre Lakatos, Paul Ernest, Ludwig Wittgenstein) lại xem toán học là một hoạt động mang tính lịch sử, cần phải liên tục điều chỉnh. Những đối tượng toán học đều mang tính ký hiệu, tồn tại trong thế giới văn hoá, dựa vào những thực hành xã hội. Biến sản phẩm văn hoá ấy thành một thế giới tồn tại độc lập “ở trên trời” như kiểu Platon là một sự “lẫn lộn về phạm trù”.

Nếu các nhà triết học (trong số đó có những nhà toán học lừng danh) không đồng ý với nhau về bản chất của các đối tượng toán học, thì sự bất đồng còn lớn hơn khi bàn về câu hỏi thứ hai: tính chất của nhận thức toán học.

Tổng hợp? Tiên nghiệm?

Cuộc tranh cãi này – rất sôi nổi trong thế kỷ 20 – bắt nguồn từ cách đặt vấn đề của đại triết gia Immanuel Kant. Kant phân biệt các loại phán đoán sau đây:

– Phán đoán phân tích tiên nghiệm (ví dụ: “người độc thân là người không lập gia đình”; “tam giác có ba góc”). Phán đoán này là phân tích vì nó chỉ giải thích những gì chứa sẵn trong chủ ngữ chứ không mở rộng kiến thức. Nó có tính tiên nghiệm vì ta không cần dựa vào kinh nghiệm mới có được phán đoán ấy.

– Phán đoán tổng hợp hậu nghiệm (ví dụ: “người độc thân này rất… đẹp trai!”; “ở Sapa có tuyết rơi”). Nó là tổng hợp, vì “đẹp trai” và “tuyết rơi” là yếu tố mới được “tổng hợp” vào cho phán đoán chứ không có sẵn, đồng thời mở rộng kiến thức của ta. Nó là hậu nghiệm vì phải được kiểm tra bằng kinh nghiệm thực tế!

Nếu phán đoán phân tích tiên nghiệm là tất yếu nhưng không mở rộng kiến thức, còn phán đoán tổng hợp hậu nghiệm mở rộng kiến thức nhưng không tất yếu (người độc thân không tất yếu phải… đẹp trai!), vậy, có loại phán đoán tổng hợp tiên nghiệm không (vừa mở rộng kiến thức, vừa tất yếu và phổ quát)? Kant bảo rằng có, và đó chính là mọi phán đoán của toán học (và của các khoa học “thuần tuý” khác).

Tại sao mọi phán đoán toán học (như “7 + 5 = 12”, “đường thẳng giữa hai điểm là đường ngắn nhất”) đều là tiên nghiệm? Vì chúng đúng một cách tất yếu và ta không cần dựa vào kinh nghiệm để kiểm tra (khác với phán đoán tổng hợp hậu nghiệm, như “mọi con thiên nga đều màu trắng”). Tại sao chúng là tổng hợp? Vì khái niệm “thẳng”, “ngắn nhất” là những yếu tố mới, không có sẵn trong khái niệm “con đường”. Sở dĩ như vậy là nhờ có sự cấu tạo của hai trực quan thuần tuý: trong hình học là những sự cấu tạo dựa theo cấu trúc của không gian; trong số học là những sự cấu tạo dựa theo cấu trúc của thời gian.

Cuộc tranh luận nổ ra. Chỉ xin kể vắn tắt đã thấy… nhức đầu. Gottlob Frege và Bertrand Russell: hình học là tổng hợp hậu nghiệm, nhưng số học lại là phân tích tiên nghiệm. David Hilbert đồng ý với Kant rằng số học và hình học là tổng hợp tiên nghiệm, nhưng không đồng ý với sự giải thích bằng trực quan thuần tuý. L. J. Brouwer: số học là tổng hợp tiên nghiệm, nhưng hình học thì không phải. Rudolf Carnap, Alfred J. Ayer và Carl Hempel: phán đoán toán học đều chỉ là phân tích tiên nghiệm mà thôi. Và còn nhiều, rất nhiều những thuyết khác nữa!

Bạn thấy đó: làm những bài toán đơn giản trong đời sống thường ngày hay hoàn thành những công trình toán học phức tạp là một chuyện, còn bàn về cơ sở triết học của chúng là một chuyện hoàn toàn khác!