Toán học là gì?

Hỏi: Thưa Ông Nagel, ông có thể làm ơn, một cách hình thức và trong khoảng năm câu, giải thích cho chúng tôi, một cách cốt lõi, toán học là gì?

GS. Nagel: Không thể! Với toán học, không thể có cái gọi là cốt lõi. Bên trong toán học và giữa các nhà toán học có một sự khác biệt lớn. Một mặt, người ta có thể sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề thực sự mang tính ứng dụng, và mặt khác, có những nhà toán học quan tâm đến những vấn đề nền tảng mang tính tự thân của toán học và do đó (nhiều lúc là cần phải) không để ý gì đến các vấn đề ứng dụng. Vì thế, về mặt này, người ta có thể xem toán học như là một “hoạt động thuần túy tinh thần của con người” (pour l’hounneur de l’esprit humain) và có một thực tế rằng, những bài toán khó khăn đối với tư duy con người có thể được giải quyết trong những giây phút thăng hoa của tinh thần. Việc đó đã diễn ra 2500 năm rồi, từ xa xưa, những người Hy lạp cổ đại đã đặt ra và giải quyết những vấn đề trừu tượng của toán học.

Làm sao người ta có thể tìm được những lời giải như vậy? Ông có thể giải thích cho chúng tôi thông qua quá trình làm việc của chính ông được không?

Tôi đã giải quyết nhiều vấn đề mà thậm chí không dùng đến giấy bút hay máy tính, đơn giản là chỉ dùng đầu óc của mình. Đôi khi, khi tôi nằm trên giường và không ngủ được, thì tôi nghĩ về một bài toán khó. Do đó, tôi cho rằng, nhà toán học có thể làm việc ở bất cứ nơi đâu và bất cứ lúc nào – nhưng mà không bắt buộc! Tôi không cần đến phòng thí nghiệm hay là phương tiện hiện đại nào, mà trái lại tôi thường nẩy sinh ra ý tưởng khi đang đạp xe hay đang chạy thể dục. Tất nhiên, sau đó, thỉng thoảng người ta phải kiểm tra lại các ý tưởng bằng các tính toán cụ thể bằng giấy và bút chì. Để tôi kể cho các bạn nghe câu chuyện hài hước: Felix Klein, nhà toán học có tiếng của thể kỷ 19, một lần bị hỏi xoáy bởi một nhà hóa học rằng: “Tôi thấy ngài suốt ngày ngồi ở quán cà phê, thế khi nào thì ngài làm việc?” Klein trả lời: “Ngài biết không, toán học khó đến nỗi người ta chỉ có thể làm việc với nó nửa giờ trong một ngày”. Tất nhiên, đó là câu chuyện tếu, nhưng nó cho thấy rằng, so với một nhà hóa học, người luôn phải gắn với phòng thí nghiệm, thì nhà toán học tự do hơn và không phục thuộc nhiều vào thiết bị xung quanh khi tiến hành công việc của mình.

Ngày nay, những vấn đề mới của Toán học nảy sinh từ đâu?

Một mặt, những vấn đề mới nảy sinh ngay trong bản thân Toán học. Khi mà phạm vi toán học được mở rộng thì càng nhiều vấn đề mới nẩy sinh. Mặt khác, các vấn đề mới của Toán nảy sinh ngay trong xã hội của chúng ta: có những ví dụ quan trọng về mô hình toán học của sự khủng hoảng tài chính. Một số nhà toán học đã đoạt giải Nobel về kinh tế. Những lĩnh vực khác có sự tham gia của Toán học là: Nén dữ liệu, bảo mật dữ liệu, thiết kế mạng tối ưu, và nhiều thứ khác nữa.

Câu hỏi sau đây có thể làm ông bực mình hoặc cảm thấy buồn tẻ: Có những bài toán lớn trải qua hàng trăm năm không có lời giải. Làm sao mà người ta lại có cảm hứng để theo đuổi những bài toán như vậy năm này qua năm khác?

Bản thân tôi không làm việc với những bài toán thế kỷ như vậy. Chúng nằm trong một giải đấu (Liga) khác. Tôi nghiên cứu những bài toán khó đối với tôi. Nó giống như là tập thể thao, tôi phải luyện tập rất nhiều, và khi đạt đến mục tiêu thì tôi có thể thở phào nhẹ nhõm. Đó là một cảm giác tuyệt vời. Trên tất cả, việc tìm thấy một lời giải luôn là nguồn cảm hứng cho sự cố gắng không ngừng. Đến lúc đó, tôi có thể viết ra trên bảng: phép chứng minh, sự chính xác, và thế là xong. Đối với toán học, không có cái gọi là “định đề” hay “phản đề” như trong môn thần học. Trái lại, luôn có một sự tách bạch rõ ràng giữa đúng và sai. Một định lý, một khi đã được chứng minh là đúng đắn, thì cho dù hàng trăm năm trôi qua, có thể nó không còn thích hợp với thời cuộc nữa, nhưng nó vẫn luôn đúng đắn.

Điều đó nghe có vẻ rất hài hòa. Chẳng lẽ không có sự cãi cọ hay xung đột hàn lâm giữa các công trình toán học? Phải chăng tất cả các nhà toán học là bạn tốt của nhau?

Về chuyên môn thì đúng là như vậy! Những kết quả của Euclid, Pascal hay Newton bây giờ vẫn còn đúng giống như nó đã từng đúng trước đây. Chúng tôi không để ý đến những sự nhập nhằng giữa đúng và sai, giữa sự quan trọng hay không quan trọng, giữa đẹp và xấu. Có lẽ đó là sự thiếu hụt của toán học và của các nhà toán học, chúng tôi thiếu đi một văn hóa tranh luận mang tính triết học. Tuy nhiên, chúng tôi hiển nhiên cũng có những thảo luận mang hơi hướng triết học chẳng hạn: thế nào là một phép chứng minh, thế nào là tiên đề, thế nào là “đúng”.

Đại học Tuebingen đã quyết định tích hợp toán và các khoa học tự nhiên để lập nên một khoa rất tổng quát gọi là Khoa “Toán và Khoa học Tự nhiên”. Về mặt nguyên lý, Toán học đóng vai trò như thế nào đối với các khoa học tự nhiên khác?

Trong các khoa học tự nhiên, người ta nghiên cứu “Cuốn sách của tự nhiên” . Và cuốn sách này, theo Galileo, được viết dưới ngôn ngữ toán học. Đó là một triết lý đẹp đẽ về quan hệ giữa toán và các khoa học tự nhiên. Việc thành lập Khoa “Toán và Khoa học Tự nhiên” này cũng chẳng phải là quyết định đặc biệt gì của Trường Tuebingen, chẳng qua Trường đã tuân theo một truyền thống lâu đời. Mặt khác, toán học có những khía cạnh chẳng liên quan gì đến khoa học tự nhiên cả, ví dụ như những ứng dụng của nó trong khoa học xã hội, kinh tế hay là trong tin học. Tất nhiên, trong sâu thẳm lý thuyết của nó (cái làm nền tảng cho tất cả ứng dụng khác), toán học đóng một vai trò là một cấu trúc của tinh thần không cần tham chiếu đến tự nhiên hay các định chế khác.

Người ngoại đạo luôn nhìn thấy ở Toán học những cấu trúc có quá ít ứng dụng và xem đó đơn thuần chỉ là “Nghệ thuật vị nghệ thuật”. Vì thế, nảy sinh câu hỏi: Phải chăng toán học chỉ có thể thỏa mãn đòi hỏi về mặt bản ngã của một số ít trí thức chứ nó không thể sáng tạo ra những giá trị đa dạng thích hợp đối với xã hội?

Sự sáng tạo ra những “giá trị đa dạng thích hợp đối với xã hội” không nên và không thể là mục đích duy nhất của những hoạt động của con người. Xã hội chúng ta cần phải bổ sung thêm những sáng tạo không bị những ép buộc và kích thích mang tính vật chất. Người ta không nên cứ luôn hỏi: “Ứng dụng cuối cùng của mớ lý thuyết đó là gì?”. Trên cương vị của một giảng viên đại học, nguyên tắc của tôi là luôn để cho các sinh viên của tôi có tinh thần tự do trong suy nghĩ và trong công việc. Những bài toán khó sẽ được giải quyết tùy theo thời gian và sự cố gắng. Đó là một trong những triết lý giáo dục của tôi. Cái thực tế rằng sau khi có được những suy nghĩ trừu tượng người ta có thể quay trở lại với những giá trị đa dạng thích hợp với xã hội, chính là một khía cạnh quyến rũ rất đặc biệt của Toán học.

Có thể xem các nhà toán học như là các nhà khám phá được không? Phải chăng bản thân tự nhiên tự nó đã tạo sẵn những lý thuyết rồi và các nhà toán học chỉ việc chuyển nó sang những khuôn dạng hữu hình và chính xác?

Đó là một câu hỏi cổ điển, từ thời Platon xa xưa, các đối tượng của toán học đã có sẵn trong “thế giới lý tưởng” của ông ta. Phần lớn các nhà toán học thuần túy lý thuyết đều “vô tình” thuộc vào trường phái Platon, với họ thì những đối tượng trừu tượng của toán học đã tồn tại từ trước, và họ chỉ phải khám phá chúng ra mà thôi. Tuy nhiên, đây là vấn đề luôn gây tranh cãi. Người ta cũng cho rằng những đối tượng đó chỉ có thể tồn tại thông qua những cách xây dựng cụ thể và quá trình tính toán cụ thể.

Về mặt cá nhân, tại sao ông lại luôn có hứng thú với toán học?

Nguồn gây cảm hứng cho tôi chính là sự đẹp đẽ và sự rõ ràng của lý thuyết thuần túy. Thật là kỳ diệu khi chứng kiến những mục đích mà tinh thần con người có thể dẫn chúng ta đến. Mặt khác, toán học là sự trừu tượng hóa chung cho các ngành khoa học đang diễn tiến riêng rẽ trong thế giới xung quanh ta. Do vậy, những nhà toán học luôn dễ dàng trong việc tiếp cận văn hóa, ngôn ngữ, tôn giáo khác nhau trên toàn cầu. Đó chính là một trải nghiệm đẹp đẽ trong một thế giới toàn cầu hóa vẫn còn nhiều xung đột và hiểu nhầm như hiện nay.

Xin cảm ơn ông Nagel về cuộc nói chuyện này!